Графическое описание движения

Автор курса · Команда Небулс

График как рассказ о движении

Уравнение движения удобно для вычислений, а график позволяет увидеть весь процесс сразу. График движения — зависимость выбранной кинематической величины от времени или другой явно указанной переменной. По горизонтальной оси обычно откладывают время, по вертикальной — координату $x$ , проекцию скорости $v_{x}$ или проекцию ускорения $a_{x}$ . Точка на графике означает пару значений, поэтому нельзя читать высоту линии как «траекторию тела»: график $x (t)$ показывает изменение координаты во времени, а не форму дороги в пространстве.

Перед чтением графика важно проверить подписи осей, масштаб и единицы. Одинаковый наклон клеток при разных масштабах может соответствовать разным скоростям, а участок ниже оси времени на графике $v_{x} (t)$ означает отрицательную проекцию скорости, но не отрицательный модуль скорости. Графические связи опираются на определения, введённые при изучении движения и векторных величин.

Для одного равномерного движения показаны растущая прямая координаты, постоянная положительная скорость и нулевое ускорение.

Координата и наклон

На графике $x (t)$ наклон секущей между двумя точками равен средней проекции скорости на этом интервале:

v_{ср, x} = \frac{Δ x}{Δ t}

Для равномерного прямолинейного движения график координаты — прямая. Чем больше модуль её наклона, тем больше модуль скорости; возрастающая прямая соответствует $v_{x} > 0$ , убывающая — $v_{x} < 0$ , горизонтальная — покою. Точка пересечения двух графиков координаты означает, что тела одновременно имеют одну координату, то есть встречаются.

При неравномерном движении график искривляется. Мгновенную скорость определяет наклон касательной: если касательная становится круче вверх, положительная скорость растёт; если график в вершине имеет горизонтальную касательную, в этот момент $v_{x} = 0$ . Координата может начать уменьшаться после вершины, что указывает на разворот, но накопленный путь при этом не уменьшается.

Скорость, наклон и площадь

На графике $v_{x} (t)$ высота линии непосредственно задаёт проекцию скорости. Наклон показывает ускорение:

a_{x} = \frac{Δ v _{x}}{Δ t}

При постоянном ускорении график скорости — прямая, а при равномерном движении — горизонтальная линия. Пересечение оси времени означает $v_{x} = 0$ и часто соответствует остановке с последующим разворотом. Чтобы понять, произошёл ли разворот, нужно посмотреть на знак скорости по обе стороны от точки.

Проекция перемещения равна площади между графиком скорости и осью времени, взятой со знаком:

Δ x = \int_{t_{1}}^{t_{2}} v_{x} (t) d t

В школьных задачах интеграл обычно находят геометрически как сумму площадей прямоугольников, треугольников и трапеций. Фигура выше оси времени даёт положительный вклад, ниже оси — отрицательный. Для пути складывают модули этих площадей, поэтому при разворотах путь больше модуля перемещения.

Ускорение и изменение скорости

График $a_{x} (t)$ показывает, как быстро меняется проекция скорости. Постоянному ускорению соответствует горизонтальная линия. Площадь между графиком ускорения и осью времени даёт изменение скорости:

Δ v_{x} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} a_{x} (t) d t

Положительное $a_{x}$ увеличивает проекцию скорости, а отрицательное уменьшает именно проекцию. Модуль скорости растёт только тогда, когда скорость и ускорение направлены одинаково. Например, при $v_{x} < 0$ и $a_{x} < 0$ тело разгоняется в отрицательном направлении, хотя обе линии на соответствующих графиках расположены ниже оси времени.

Как связать три графика

Представим движение из покоя с постоянным положительным ускорением, затем равномерное движение и, наконец, торможение до остановки. На графике $a_{x} (t)$ это будут положительный участок, нулевой участок и отрицательный участок. На графике $v_{x} (t)$ скорость сначала линейно возрастёт, затем останется постоянной и после этого линейно уменьшится до нуля. График $x (t)$ сначала будет становиться всё круче, на равномерном участке превратится в прямую, а при торможении продолжит расти, постепенно выравниваясь.

Такой перевод между графиками надёжнее запоминания внешнего вида отдельных кривых. Наклон $x (t)$ даёт скорость, наклон $v_{x} (t)$ даёт ускорение, площадь под $v_{x} (t)$ даёт перемещение, а площадь под $a_{x} (t)$ — изменение скорости. Проверяя каждую связь вместе с единицами измерения, можно восстановить неизвестный график даже для сложного движения по участкам.

Сопоставьте собственные измерения с графиками в работе Изучение прямолинейного равноускоренного движения: отметьте, как меняется наклон координатного графика при изменении ускорения.

Подготавливаем формулы…