Подготавливаем формулы…
Закон Архимеда и условия плавания тел
Автор курса · Команда Небулс
Происхождение выталкивающей силы
Давление жидкости растёт с глубиной, поэтому на нижнюю часть погружённого тела жидкость давит сильнее, чем на верхнюю. Горизонтальные составляющие сил давления взаимно компенсируются, а вертикальные дают результирующую вверх. Архимедова сила — равнодействующая сил давления жидкости или газа на погружённое тело.
Закон Архимеда связывает эту силу с вытесненной средой:
Она равна весу жидкости или газа в объёме погружённой части тела и приложена к центру этого объёма. Здесь — плотность окружающей среды в , — объём погружённой части в , а — ускорение свободного падения в ; сила получается в ньютонах. При полном погружении вытеснен весь объём тела, при неполном — только находящаяся под поверхностью часть; этот объём можно измерить по приросту показания мензурки. Формула не содержит плотность самого тела; она влияет на сравнение выталкивающей силы с тяжестью. Для одинаковых погружённых объёмов в одной среде архимедова сила одинакова даже у тел разной массы, а при дальнейшем опускании уже полностью погружённого тела в однородной жидкости она не увеличивается с глубиной.
При расчёте с плотностью в килограммах на кубический метр объём тоже переводят в СИ: . Для погружённого объёма в кубических сантиметрах это означает деление на миллион; иначе вычисленная сила будет завышена в миллион раз.
Плавание и погружение
Тело плавает в равновесии, когда архимедова сила уравновешивает силу тяжести: . Для полностью погружённого однородного тела сравнение сводится к плотностям. Если , тело всплывает; если плотности равны, возможно безразличное равновесие в толще; если , тело тонет.
У плавающего тела погружена лишь часть объёма:
Стальной корабль держится на воде, потому что его средняя плотность вместе с полостями меньше плотности воды. При загрузке масса возрастает, корабль погружается глубже и вытесняет больший объём до нового равновесия.
После отпускания погружённый деревянный брусок начинает всплывать, поскольку сила Архимеда больше силы тяжести. Когда он достигает поверхности, погружённый объём уменьшается вместе с выталкивающей силой, и устанавливается равновесие. Поэтому для расчёта плавающего тела нельзя автоматически брать весь его объём. Добавление груза увеличивает общую массу и погружённую часть, сохраняя плотность воды.
Брусок погружён в воду на три четверти. Равные по модулю силы Архимеда и тяжести направлены противоположно.
Кажущийся вес
На полностью погружённое и удерживаемое тело действуют тяжесть вниз, архимедова сила вверх и сила подвеса. Показание динамометра в жидкости равно:
Масса тела при погружении не уменьшается: удерживать его легче, потому что часть направленной вниз силы тяжести уравновешивает жидкость. Если тело покоится, не касается дна или стенок, а выталкиванием воздуха можно пренебречь, показание в воздухе , поэтому . По найденной силе можно определить погружённый объём, а после полного погружения — объём всего тела и его плотность. Вычитать показания при касании дна нельзя: тогда появляется ещё одна сила со стороны опоры.
Суда и воздушные шары
У судна сравнивают с плотностью воды среднюю плотность всего судна вместе с закрытыми полостями, а не плотность стали. Ватерлиния — линия пересечения поверхности воды с корпусом судна; осадка — глубина погружения корпуса, измеренная от ватерлинии до его нижней части. При погрузке ватерлиния поднимается относительно корпуса и осадка растёт. Массовое водоизмещение — масса воды, вытесняемой судном; при плавании в покое она равна общей массе судна с грузом. Если известен вытесненный объём, эта масса равна .
Грузоподъёмность судна — максимальная допустимая масса груза при заданной предельной осадке и составе остальных масс. В простой модели её находят, вычитая из массы воды при предельном погружении массу самого судна без груза. Если часть груза уже принята, оставшийся запас равен допустимой общей массе минус текущая общая масса судна. Превышение осадки уменьшает высоту борта над водой и создаёт опасность поступления воды внутрь. В пресной воде, которая менее плотная, чем солёная, то же судно должно вытеснить больший объём для поддержания той же массы: осадка увеличивается, а допустимый запас груза уменьшается.
Для газа архимедова сила также существует и направлена вверх: , где — объём вытесненного окружающего воздуха. Воздушный шар поднимается, когда она больше общей силы тяжести газа внутри, оболочки, корзины и груза. Подъёмная сила, доступная для удержания груза, — разность силы Архимеда и силы тяжести остальных частей воздушного шара. Если без груза эти части имеют массу , предельная масса груза в равновесии равна . Поэтому нельзя считать весь эффект выталкивания запасом для груза: часть уже уравновешивает тяжесть самого шара.
Пример с плавающим бруском
Деревянный брусок плотностью плавает в воде плотностью . Из условия равновесия и гидростатического давления следует, что доля погружённого объёма равна . Над водой остаётся четверть объёма.
Если тот же брусок поместить в жидкость плотностью , максимальная архимедова сила при полном погружении окажется меньше тяжести, и брусок утонет. Сравнивать нужно средние плотности всего тела и среды, а не только материал наружной оболочки.
В работе Измерение силы Архимеда сравните показания прибора до и после погружения. По наблюдениям определите, какая сила изменяет показание и с какими условиями среды она связана.