Плотность вещества

Что можно узнать, сравнивая одинаковые объёмы

Два одинаковых кубика занимают одинаковое место, но металлический обычно заметно тяжелее деревянного. По одной массе нельзя понять, какое вещество «тяжелее на единицу объёма»: большой деревянный брусок может иметь большую массу, чем маленький металлический. Для сравнения нужно измерить обе величины у одной порции вещества.

Два сплошных кубика одинакового объёма из разных веществ дают разные показания массы на весах. — Рис. 1. При одинаковом объёме различие масс показывает различие плотностей. Размер предмета сам по себе не определяет плотность вещества.

Плотность — отношение массы однородного вещества к занимаемому им объёму.

ρ = \frac{m}{V} .

Здесь $m$ — масса вещества, $V$ — занимаемый им объём. Единица СИ — $кг / м^{3}$ : плотность воды около $1000 кг / м^{3}$ означает, что кубический метр воды имеет массу около тысячи килограммов. Плотность не равна весу: вес зависит от притяжения и условий движения опоры, а отношение массы к объёму от этого напрямую не меняется.

Почему большая порция не становится плотнее

Разделим однородный брусок пополам. Каждая половина получит половину массы и половину объёма; отношение этих величин останется прежним. Это верно при одинаковых температуре, давлении и составе вещества.

Однородный брусок разделён на две равные части с согласованным уменьшением массы и объёма. — Рис. 2. Уменьшение массы и объёма в одно число раз не изменяет плотность. Плотность характеризует вещество при заданных условиях, а не размер выбранного образца.

Если объём одной порции удвоить, её масса тоже удвоится. Поэтому график массы от объёма для одного однородного вещества — прямая через начало координат:

m = ρ V, V = \frac{m}{ρ} .

Прямые массы от объёма для алюминия и древесины проходят через начало координат и имеют разные наклоны. — Рис. 3. В общих осях более крутая прямая соответствует большей плотности. При объёме 100 см³ показанные массы алюминия и древесины равны 270 г и 60 г.

По одной точке графика можно найти плотность, разделив массу на объём; по нескольким точкам можно проверить, сохраняется ли это отношение. Прямая, не проходящая через начало, может возникнуть, если вместе с каждой порцией взвешивали один и тот же сосуд и не вычли его массу. Сравнивать наклоны разных рисунков без проверки масштаба осей нельзя.

На уровне частиц плотность зависит и от массы частиц, и от того, сколько их приходится на единицу объёма. Для одинаковых частиц $ρ = m_{0} n$ , где $m_{0}$ — масса одной частицы, $n$ — число частиц в единице объёма. Частицы более плотного вещества не обязаны быть крупнее: существенны их состав и расстояния между ними. Микроскопическая модель связывает эту тему со строением вещества.

Как согласовать единицы

В небольшом опыте массу удобно выражать в граммах, объём — в кубических сантиметрах. Тогда плотность получается в $г / см^{3}$ . Переводят одновременно единицы массы и объёма: кубический метр содержит миллион кубических сантиметров, а килограмм — тысячу граммов.

1 г / см^{3} = 1000 кг / м^{3}, 1 мл = 1 см^{3}, 1 л = 1 0^{- 3} м^{3} .

Например, $0, 8 г / см^{3} = 800 кг / м^{3}$ . У $0, 50 л$ такой жидкости объём $500 см^{3}$ , поэтому масса $0, 8 \cdot 500 = 400 г$ . Проверка в СИ даёт $800 \cdot 0, 00050 = 0, 40 кг$ — тот же результат. Если требуется масса жидкости вместе с бутылкой, массу пустой бутылки добавляют отдельно.

Вместимость сосуда и объём вещества его стенок — разные величины. По внутреннему объёму можно найти массу налитой жидкости, но не массу стекла. Для сплошной прямоугольной детали объём находят как произведение трёх размеров; предварительно все длины приводят к одной единице.

Как измерить объём неправильной детали

У камня или изогнутой детали нет простой формулы объёма по трём размерам. Можно полностью погрузить её в жидкость и измерить увеличение показания мензурки. Поднявшийся уровень показывает, какой объём заняло тело, а не сколько воды прибавилось.

В одной мензурке до погружения уровень равен 50 мл, после полного погружения детали — 80 мл. — Рис. 4. Объём полностью погружённой детали равен разности показаний: $80 - 50 = 30 см^{3}$ . Схема показывает два момента одного измерения.

Перед опытом проверяют нуль весов и при необходимости вычитают массу пустого сосуда. На мензурке находят цену деления: разность двух подписанных значений делят на число промежутков между ними. Уровень воды читают по нижней точке мениска на высоте глаз; взгляд сверху или снизу даёт ошибку из-за параллакса. Вытесняемое тело не должно растворяться, впитывать воду или удерживать пузырьки, а жидкость не должна переливаться через край.

Пусть масса детали $81 г$ , начальное показание $50 мл$ , конечное — $80 мл$ . Тогда $V = 30 см^{3}$ и $ρ = 81/30 = 2, 7 г / см^{3} = 2700 кг / м^{3}$ . Полученная плотность согласуется с алюминием, но одного такого совпадения недостаточно для строгого определения состава: влияют погрешности и примеси. Если погрузить только часть детали, измеренный объём будет занижен, а рассчитанная по нему плотность всего тела — завышена.

Галилео Галилей описал в «Маленьких весах» 1586 года другой способ сравнения плотностей — гидростатическое взвешивание. Там объём проявляется через изменение действия подвеса при погружении, которое объясняется законом Архимеда. История этого прибора показывает, почему независимые измерения и ясная физическая модель важнее внешнего вида образца.

Плотность материала и средняя плотность тела

У полого металлического шара масса определяется главным образом металлом стенок, а внешнее пространство, которое он занимает, гораздо больше объёма металла. Если разделить массу только на объём стенок, получим плотность материала. Если взять полный внешний объём, включая закрытую полость, получится другая величина.

Средняя плотность тела — отношение всей его массы к полному объёму, включая внутренние полости.

Сплошная и полая детали показаны в разрезе; материал отделён от внутренней пустоты. — Рис. 5. Полость уменьшает среднюю плотность при том же внешнем объёме, но не меняет плотность материала стенок. Нужно явно указать, какой объём участвует в расчёте.

Пусть закрытая деталь занимает $200 см^{3}$ и имеет массу $160 г$ . Её средняя плотность $0, 8 г / см^{3}$ может быть меньше плотности воды, хотя материал стенок плотнее воды. При попадании воды внутрь меняются масса и условия вытеснения, поэтому вывод о плавании нужно пересмотреть. Для тела из двух материалов складывают массы и объёмы: $ρ_{ср} = (m_{1} + m_{2}) / (V_{1} + V_{2})$ , если объёмы действительно складываются. Простое среднее двух плотностей подходит только для равных объёмов компонентов.

Для сплава из двух металлов общей массой $300 г$ и измеренным объёмом $40 см^{3}$ средняя плотность равна $7, 5 г / см^{3}$ . Если известны массы компонентов и их исходные плотности, можно оценить объём как $m_{1} / ρ_{1} + m_{2} / ρ_{2}$ , но лишь при допустимом предположении о сложении объёмов. При смешивании некоторых жидкостей или образовании сплава итоговый объём отличается от суммы исходных: тогда нужен измеренный объём или дополнительная модель. Для равных масс двух компонентов при сложении объёмов получится $ρ_{ср} = 2/ (1/ ρ_{1} + 1/ ρ_{2})$ , а не обычное среднее двух плотностей.

Плотность изменяется при нагреве, сжатии и изменении состава. У газа при той же массе уменьшение объёма существенно повышает плотность; у жидкостей и твёрдых тел небольшое сжатие обычно даёт гораздо меньший эффект. Поэтому табличное значение используют при указанных условиях, а не как неизменное свойство любого образца. При поиске небольшой полости в детали погрешность объёма может быть важнее самого отличия от табличной плотности.

Когда удобнее считать массу по площади или длине

Для одинаковых листов бумаги объём измерить труднее, чем площадь: малая толщина даёт большую относительную погрешность. Если толщина и состав постоянны, масса пропорциональна площади листа. Поэтому для бумаги, ткани и тонких покрытий используют характеристику массы на единицу покрытой площади.

Поверхностная плотность — отношение массы тонкого слоя вещества к площади, которую он покрывает.

σ = \frac{m}{S}, m = σ S .

В СИ $σ$ измеряется в $кг / м^{2}$ , а для бумаги часто указывают $г / м^{2}$ . Значение $80 г / м^{2}$ означает массу $80 г$ у квадратного метра бумаги, а не плотность вещества $80 г / см^{3}$ . Лист площадью $0, 060 м^{2}$ такой бумаги имеет массу $4, 8 г$ . Если толщина однородного слоя $t$ известна, объём $V = S t$ , поэтому $σ = ρt$ .

Тонкий лист и длинная проволока показаны со своими массами, площадью листа и длиной проволоки. — Рис. 6. Поверхностная плотность связывает массу с площадью, линейная — с длиной. Эти характеристики имеют другие единицы, чем объёмная плотность; изображение не в масштабе.

У проволоки или нити измеряют длину, а поперечное сечение обычно мало. Для однородного изделия постоянного сечения масса пропорциональна длине. Здесь удобно ввести аналогичную величину.

Линейная плотность — отношение массы протяжённого тела к его длине.

λ = \frac{m}{l}, m = λ l .

Единица СИ — $кг / м$ . У проволоки массой $80 г$ и длиной $10 м$ линейная плотность $8 г / м = 0, 008 кг / м$ ; отрезок длиной $2, 5 м$ имеет массу $20 г$ . Если площадь поперечного сечения равна $S_{сеч}$ , то $λ = ρ S_{сеч}$ . Для неоднородного листа или проволоки отношение полной массы к площади или длине даёт среднее значение; его нельзя без проверки приписывать каждому отдельному участку.

В работе «Измерение средней плотности вещества» сначала получите показания массы и объёма, затем объясните их отношение. Сравните повторные измерения и проверьте, полон ли объём погружения. Та же характеристика понадобится дальше при расчёте давления жидкости и условий плавания.