Сообщающиеся сосуды и гидравлические машины

Равенство давлений

В связной покоящейся жидкости давление в точках одного горизонтального уровня одинаково. Сообщающиеся сосуды — сосуды, соединённые ниже свободных поверхностей так, что жидкость может переходить между ними. Если в коленах одна жидкость и над поверхностями одинаковое давление, уровни устанавливаются на одной высоте независимо от формы сосудов.

Если жидкости разные и не смешиваются, равенство давлений на уровне границы даёт ${\rho }_{1}g{h}_1={\rho }_{2}g{h}_2$. Более плотная жидкость образует меньший столб. Это соотношение используется в U-образных манометрах и при сравнении плотностей.

Так носик чайника и его основная часть образуют сообщающиеся сосуды: при одинаковом давлении воздуха над водой свободные поверхности находятся на одной высоте. По тому же принципу водомерное стекло, соединённое с резервуаром снизу и имеющее такое же давление сверху, показывает уровень внутри него. Если над одной ветвью повысить давление воздуха, жидкость в ней опустится, а в другой поднимется, пока давления на общей горизонтали не сравняются. Правило равных уровней применяют к покоящейся жидкости в достаточно широких ветвях, где капиллярным действием можно пренебречь.

Жидкостный манометр

Жидкостный манометр — прибор, измеряющий разность давлений по разности уровней жидкости в соединённых коленах. В простом открытом манометре U-образная трубка частично заполнена жидкостью: одну ветвь соединяют с сосудом с газом, а другую оставляют открытой в атмосферу. Если давление газа больше атмосферного, уровень со стороны газа ниже; при меньшем давлении он выше. Для одной жидкости плотностью $\rho$ модуль разности давлений равен:

$$|p_{\text{газа}}-p_{\text{атм}}|=\rho gh$$

Здесь $h$ — разность высот двух свободных поверхностей по вертикали, а не длина изогнутой трубки. Манометр в такой схеме показывает превышение или недостаток давления относительно атмосферного. Чтобы получить само давление газа, к атмосферному прибавляют измеренную разность, если газ давит сильнее, или вычитают её, если слабее; при одинаковых давлениях уровни равны.

В узком и широком коленах одной сообщающейся системы свободные поверхности находятся на одной высоте при одинаковом внешнем давлении.

Закон Паскаля

Закон Паскаля: изменение давления, произведённое на жидкость или газ, передаётся без изменения во все точки среды. Закон относится к добавочному давлению и следует из равновесия текучей среды, которая не способна удерживать касательное напряжение в покое.

В закрытом сосуде давление поршня $\Delta p=F/S$ появляется у каждой стенки. Силы на разных участках при этом различаются, потому что равное давление умножается на разную площадь. Само гидростатическое изменение $\rho gh$ с глубиной никуда не исчезает.

Это можно представить на примере наполненного водой шприца с закрытым выходом: нажатие на поршень повышает давление во всей жидкости, поэтому воздействие передаётся и к выходу, и к боковым стенкам. Если в замкнутом сосуде открыть одинаковые отверстия на одном уровне, при нажатии струи будут направлены наружу поперёк соответствующих участков стенки. На площадку площади $S$ добавочное давление создаёт дополнительную силу $\Delta F=\Delta pS$; одинаковое давление на площадках разной площади даёт разные силы.

Гидравлическая машина

Гидравлическая машина — устройство, передающее и преобразующее силу с помощью давления жидкости. Два поршня площадей $S_1$ и $S_2$ соединены жидкостью. Для идеальной машины без трения и утечек, при расположении поршней на одной высоте, равенство добавочных давлений приводит к выигрышу в силе:

$$\frac{F_1}{S_1}=\frac{F_2}{S_2}$$

Если большой поршень имеет площадь в сто раз больше малого, идеальная машина увеличивает силу в сто раз. Однако несжимаемость жидкости требует равенства вытесненных объёмов $S_1{h}_1=S_2{h}_2$, поэтому малый поршень проходит во столько же раз больший путь. В идеале работы равны: $F_1{h}_1=F_2{h}_2$.

Применение и ограничения

Гидравлический пресс, домкрат и тормозная система используют одно и то же преобразование давления в силу. Например, при $S_1=2{\text{см}}^2$, $S_2=200{\text{см}}^2$ и силе $F_1=150\text{Н}$ идеальная выходная сила равна $15\text{кН}$. Единицы площадей можно не переводить, если в отношении они одинаковы.

В реальной машине часть работы расходуется на трение, деформацию шлангов и движение самой жидкости, поэтому выходная сила меньше идеальной. Воздух в гидролинии сжимается и делает передачу менее точной. Расчёт давления при этом опирается на определение давления, а не на прямое «умножение силы» без учёта площадей.

Пневматические устройства передают воздействие сжатым газом. Компрессор запасает энергию в сжатом воздухе, а воздух приводит в движение поршень, например в пневматическом инструменте. Газ заметно сжимается, поэтому пневмопривод упруго реагирует на нагрузку; жидкость в гидроприводе при обычных давлениях меняет объём гораздо меньше. Закон Паскаля описывает установившуюся передачу добавочного давления, а течение и сжатие требуют учитывать дополнительные потери.

Исследуйте это непосредственно в работе Изучение сообщающихся сосудов: меняйте доступные условия и сравнивайте уровни. Сначала сформулируйте наблюдаемую закономерность, затем назовите условия её выполнения.

Поршневой насос и атмосферное давление

Поршневой насос — устройство, перемещающее жидкость за счёт изменения объёма рабочей камеры поршнем и направленного действия клапанов. Вода поднимается в простом всасывающем насосе из-за разности давлений. Рассмотрим насос с рабочей камерой под поршнем и двумя клапанами: впускной пропускает воду из источника в камеру, выпускной — из камеры в выходную трубу. При подъёме поршня объём камеры увеличивается и давление в ней уменьшается. Атмосферное давление на свободную поверхность воды в источнике заставляет воду входить в камеру через впускной клапан; выпускной клапан при этом закрыт.

При опускании поршня давление в камере возрастает. Впускной клапан закрывается, не позволяя воде вернуться в источник, а выпускной открывается и пропускает воду к выходу. Повторные ходы переносят новые порции воды. Клапаны направляют поток, но не создают энергию: работу совершает человек или двигатель, двигающий поршень.

Если каждый рабочий ход подаёт одинаковый объём $V_0$, за $n$ таких ходов насос без потерь подаст объём $n{V}_0$. Роль разности давлений видна и при выливании воды из сосуда: отверстие в крышке чайника позволяет воздуху входить на место вытекающей воды. В полностью герметичном сосуде без поступления воздуха давление над водой при её вытекании уменьшается и начинает препятствовать потоку. Насос изменяет давление специально, а клапаны обеспечивают нужное направление движения воды.

Такой насос не может всасывать воду с произвольной глубины. Столб воды удерживается разностью атмосферного давления и давления в камере. Даже при очень малом давлении в камере атмосферное давление в обычных условиях способно уравновесить столб воды высотой лишь около 10 м; потери и испарение воды уменьшают практическую высоту. Поэтому для глубокого источника насос помещают ближе к воде. Это ограничение высоты всасывания не следует путать с высотой, на которую насос может нагнетать воду, создавая повышенное давление.