В одной коробке восемь карандашей, в другой пять. Можно узнать общее количество, сравнить коробки или разложить карандаши поровну. Ситуация подсказывает действие: важно сначала понять, что объединяется, что остаётся и что делится на равные части.
Сложение и вычитание
Сложение объединяет количества. Числа, которые складывают, называют слагаемыми, а результат — суммой.
В записи числа 8 и 5 — слагаемые, 13 — сумма. Вычитание позволяет найти оставшуюся часть или разницу между количествами. В записи число 13 — уменьшаемое, 5 — вычитаемое, 8 — разность. Эти названия помогают говорить о действиях точно.
Вычитание — действие, обратное сложению. Чтобы проверить , сложим результат с вычитаемым: . Если из 8 вычитают 13, ответ уже не будет натуральным числом или нулём. Отрицательные числа появятся позже; пока при вычитании остаёмся в пределах случаев, где уменьшаемое не меньше вычитаемого.
Умножение и деление
Умножение натуральных чисел позволяет найти сумму одинаковых слагаемых. Числа, которые умножают, называют множителями, а результат — произведением.
Пусть в четырёх коробках по шесть карандашей. Общее количество равно . Числа 6 и 4 — множители, 24 — произведение. Рисунок прямоугольного массива показывает сразу четыре группы по шесть и шесть групп по четыре.
При делении можно распределить 24 карандаша поровну между четырьмя учениками: каждый получит 6. Можно спросить иначе: сколько коробок по 6 карандашей получится из 24? Ответ — 4. В записи число 24 — делимое, 4 — делитель, 6 — частное. Деление без остатка — действие, обратное умножению: проверяет частное.
Если равные целые группы не получаются, понадобится деление с остатком или дробный результат. Нельзя записывать как точное равенство: четыре шестёрки дают только 24. Нужно объяснить, что произошло с оставшейся единицей.
Роль нуля и единицы
Прибавление нуля сохраняет число: . Вычитание нуля тоже сохраняет его, а . Здесь и далее буква обозначает рассматриваемое неотрицательное целое число. Умножение на 1 не меняет число; умножение на 0 даёт 0.
Деление ненулевого числа на себя даёт 1, а деление на 1 сохраняет число. Нуль, разделённый на ненулевое число, даёт нуль: , потому что .
Делить на нуль нельзя.
Если бы имело ответ, умножение этого ответа на 0 должно было бы дать 6. Но любое число, умноженное на 0, даёт 0. Для обратная проверка тоже не определяет единственного ответа: подходит любое число. Поэтому и такое деление не определено.
Письменные вычисления по разрядам
Сложение и вычитание многозначных чисел выполняют, выравнивая единицы с единицами, десятки с десятками и так далее. Например, при сложении сначала получаем единиц: записываем 4 единицы, а 1 десяток переносим в следующий разряд. Затем десятков: записываем 3 десятка, переносим 1 сотню. Наконец, сотни, поэтому сумма равна 434.
При вычитании четырёх единиц недостаточно, чтобы вычесть шесть. Разменяем один из трёх десятков на десять единиц: получится 14 единиц и 2 десятка. Вычтем единицы: . Затем разменяем одну сотню на десять десятков: десятков, а в сотнях останется . Результат 278 подтверждает обратную связь со сложением. Размен меняет группировку, но сохраняет само число.
Письменное умножение тоже опирается на разряды и распределительное свойство. Например, . При записи столбиком второе произведение сдвигают на один разряд, потому что множитель 2 обозначает два десятка, а не две единицы. Потеря этого сдвига дала бы сумму 944 и 472 вместо правильного результата.
Деление выполняют от старших разрядов к младшим. Разделим 936 на 4: 9 сотен дают 2 сотни в частном и 1 сотню в остатке; вместе с 3 десятками это 13 десятков. Они дают 3 десятка в частном и 1 десяток в остатке; вместе с 6 единицами это 16 единиц. Последний шаг даёт 4 единицы, поэтому . Проверка возвращает исходное число. Если после первой цифры частного на очередном шаге разрядных единиц меньше делителя, в этом разряде нужно записать 0. Например, : один десяток не даёт ни одного полного десятка в частном, и нуль сохраняет его место.
Выбор действия и проверка
В библиотеку поступило 7 коробок по 8 книг. Из новых книг 19 сразу выдали читателям. Сначала найдём всё поступление: книг. Затем оставшееся количество: книг. Проверка возвращает нас к целому: и .
Теперь измените вопрос: на сколько книг поступило больше, чем выдали? Это опять , а не . Вычитание отвечает на вопрос «на сколько», деление — на вопрос «во сколько раз» или о равных группах. Умение объяснить выбор действия делает вычисление осмысленным и помогает замечать неверные ответы.