Порядок действий, скобки и свойства сложения и умножения

В выражении $18 + 24 : 6$ нельзя просто двигаться от левого края, выполняя все действия подряд. Знаки показывают, какие части связаны теснее: сначала деление, затем сложение. Скобки позволяют изменить эту связь и задать другой смысл вычисления.

Порядок действий

Для выражений со сложением, вычитанием, умножением и делением действует такой порядок:

Выполнить действия в скобках; если скобки вложены, начать с внутренних.
Выполнить умножение и деление в порядке слева направо.
Выполнить сложение и вычитание в порядке слева направо.

Действия одного уровня не имеют преимущества друг перед другом. Поэтому $48 : 6 \cdot 2 = 8 \cdot 2 = 16$ , а не $48 : 12$ . Аналогично $20 - 7 + 3 = 13 + 3 = 16$ , а не $20 - 10$ . Скобки вокруг $7 + 3$ действительно дали бы другой результат.

Для выражения 18 плюс 24 разделить на 6 сначала выполняется деление; со скобками вокруг 18 плюс 24 сначала выполняется сложение. — Рис. 1. Скобки меняют структуру выражения: без них результат 22, с ними — 7.

Сравним полностью: $18 + 24 : 6 = 18 + 4 = 22$ , но $(18 + 24) : 6 = 42 : 6 = 7$ . Каждая следующая запись равна всей предыдущей. Результат отдельного действия заменяет только соответствующую часть выражения: нельзя поставить знак равенства между всем выражением $18 + 24 : 6$ и одним частным $24 : 6 = 4$ .

Свойства, которые упрощают вычисление

Переместительное свойство: перестановка слагаемых не меняет сумму, а перестановка множителей не меняет произведение.

Сочетательное свойство: при сложении нескольких чисел или умножении нескольких чисел изменение группировки не меняет результат.

Для неотрицательных целых чисел $a$ , $b$ , $c$ эти свойства записываются так:

a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c),

a \cdot b = b \cdot a, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) .

Их смысл — возможность пересчитать те же предметы в другом порядке и объединить те же группы иначе. Например, $37 + 48 + 63 = (37 + 63) + 48 = 148$ , а $25 \cdot 17 \cdot 4 = (25 \cdot 4) \cdot 17 = 1700$ . Получение удобных круглых чисел уменьшает объём вычислений.

Эти свойства нельзя переносить на вычитание и деление. В примере $9 - 4 = 5$ нельзя переставить числа и сохранить ответ: вычесть 9 из 4 в неотрицательных целых числах пока невозможно. После знакомства с отрицательными числами в 6 классе получится $4 - 9 = - 5$ , а не 5. Аналогично $24 : 6 = 4$ , но $6 : 24$ не равно 4. Группировка тоже важна: $(24 : 6) : 2 = 2$ , а $24 : (6 : 2) = 8$ .

Распределительное свойство

Если прямоугольный массив из восьми рядов разделить на полосы шириной 10 и 3, общее число клеток не изменится. Можно посчитать весь массив или две части и сложить результаты.

Распределительное свойство: чтобы умножить сумму на число, можно умножить каждое слагаемое на это число и сложить произведения.

(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c .

Прямоугольник 13 на 8 разделён на части 10 на 8 и 3 на 8. — Рис. 2. Разбиение массива объясняет, почему множитель относится к каждому слагаемому.

Например, $13 \cdot 8 = (10 + 3) \cdot 8 = 80 + 24 = 104$ . Если разность неотрицательна, работает и форма $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$ . Поэтому $99 \cdot 7 = (100 - 1) \cdot 7 = 700 - 7 = 693$ . Ошибка $(10 + 3) \cdot 8 = 80 + 3$ оставляет второе слагаемое без умножения; рисунок показывает потерянные семь групп по три клетки.

Один пример несколькими способами

Вычислим $16 \cdot 25 + 4 \cdot 25$ . По порядку действий сначала получаем $400 + 100 = 500$ . Можно заметить общий множитель и воспользоваться распределительным свойством в обратную сторону:

16 \cdot 25 + 4 \cdot 25 = (16 + 4) \cdot 25 = 20 \cdot 25 = 500.

Оба способа верны; второй требует меньше вычислений. Проверьте похожую запись $16 \cdot 25 + 4$ : здесь у второго слагаемого нет множителя 25, поэтому объединить числа 16 и 4 таким способом нельзя. Свойства разрешают конкретные равносильные преобразования, а не произвольное перемещение знаков и чисел.