Деление с остатком

Для поездки нужно разместить 29 человек в машинах по 6 мест. Четыре полностью занятые машины увезут 24 человека, а ещё пятерым понадобится пятая машина. Деление с остатком отдельно показывает число полных групп и количество, которое осталось вне них.

Полные группы и остаток

При делении неотрицательного целого числа на натуральное число частное показывает количество полных групп, а остаток — количество единиц, не вошедших в эти группы. Остаток неотрицателен и меньше делителя.

Для делимого $a$ , делителя $b$ , неполного частного $q$ и остатка $r$ запись имеет вид:

a = b q + r, 0 \leq r < b .

Здесь $a$ , $q$ , $r$ — целые неотрицательные числа, $b$ — натуральное число, поэтому $b \neq = 0$ . В нашем примере $29 = 6 \cdot 4 + 5$ . Краткая запись «29 : 6 = 4 (ост. 5)» означает именно это равенство, а не обычное деление с точным частным 4.

29 точек разделены на четыре полные группы по шесть и отдельный остаток из пяти точек. — Рис. 1. Пять оставшихся человек не образуют ещё одну полную группу из шести.

Условие $r < b$ необходимо. Запись $29 = 6 \cdot 3 + 11$ верна как равенство, но 11 не является допустимым остатком: из него можно выделить ещё одну шестёрку. После этого частное увеличится до 4, а остаток уменьшится до 5.

Как найти и проверить результат

Ищем наибольшее кратное делителя, которое не превосходит делимое. Для $47 : 8$ произведение $8 \cdot 5 = 40$ подходит, а $8 \cdot 6 = 48$ уже слишком велико. Поэтому $q = 5$ , а $r = 47 - 40 = 7$ . Проверка включает два условия: $8 \cdot 5 + 7 = 47$ и $0 \leq 7 < 8$ .

На числовом луче 47 находится между соседними кратными восьми — 40 и 48; от 40 до 47 семь единиц. — Рис. 2. Остаток — расстояние от предыдущего кратного делителя до делимого.

Такой результат единственный: соседние кратные $b$ отстоят на $b$ единиц, и число может находиться только в одном промежутке от $b q$ включительно до $b (q + 1)$ не включительно. Сам остаток показывает место внутри этого промежутка. В частности, деление без остатка соответствует его левому краю.

Если делимое меньше делителя, полных групп нет: $4 = 7 \cdot 0 + 4$ , значит, $4 : 7$ даёт неполное частное 0 и остаток 4. Если делимое равно нулю, то $0 = b \cdot 0 + 0$ при любом натуральном $b$ . Остаток может быть нулём: например, $42 = 7 \cdot 6 + 0$ . Деление на нуль по-прежнему не определено.

Ответ зависит от вопроса

Из 29 метров ленты делают отрезки по 6 метров. Получится четыре полных отрезка, останется 5 метров. Для размещения 29 человек по 6 мест нужна пятая машина, потому что остаток тоже требуется разместить. Одно и то же деление даёт разные ответы на разные практические вопросы.

Нельзя автоматически прибавлять 1 к неполному частному в любой задаче. Если людей 30, а мест в машине 6, остаток равен нулю и достаточно пяти машин. Если требуется число полных групп, берут $q$ ; если нужно разместить всё количество, при ненулевом остатке берут $q + 1$ .

Проверьте запись «при делении на 9 получился остаток 9». Она невозможна: девять оставшихся единиц образуют ещё одну полную группу. Возможные остатки при таком делении — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Это ограничение часто позволяет заметить ошибку ещё до проверки равенства.