Одна треть и её десятичная запись — одно число, представленное по-разному. Первая запись точная и короткая, вторая показывает последовательность десятичных разрядов. Эта статья объединяет известные дроби и целые числа; перед чтением нужно уметь делить дроби, сокращать их и выполнять действия со знаками.
Рациональное число
Рациональное число — число, которое можно представить отношением двух целых чисел с ненулевым знаменателем.
Общий вид такого представления:
Множество рациональных чисел обозначают . Числа , , и рациональные: например, , а . Записей одного числа много, потому что . Знак минус в знаменателе можно перенести в числитель, поэтому обычно выбирают положительный знаменатель.
Число целое, но не натуральное; рациональное, но не целое. Такие примеры помогают читать классификацию без смешения понятий. Рациональность определяется существованием дроби , а не наличием дробной части в привычной записи.
Конечная и периодическая запись
Любая конечная десятичная дробь рациональна: . Но при делении числителя на знаменатель десятичная запись может продолжаться бесконечно. Для сначала получается цифра 1 после запятой, а затем повторяется цифра 6:
Периодическая десятичная дробь — бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого разряда, повторяется один и тот же блок цифр. Этот блок называют периодом.
В записи период — 27; в период — 6, а цифра 1 до него не повторяется. Скобки здесь обозначают период, а не арифметическое действие. Можно выделить более длинный повторяющийся блок, но обычно записывают кратчайший.
Почему запись рационального числа обязательно конечна или периодична? После каждого шага деления на положительное целое остаток — одно из чисел . Если получился 0, деление заканчивается. Если нуль не появляется, среди конечного количества ненулевых остатков какой-то повторится. С этого места одинаковый остаток задаёт те же цифры и следующие остатки, поэтому возникает период. Для отрицательного числа достаточно разделить его модуль и вернуть минус: последовательность десятичных цифр от этого не меняется.
Когда десятичная дробь заканчивается
Для несократимой дроби с положительным знаменателем конечная десятичная запись существует тогда и только тогда, когда в разложении знаменателя на простые множители есть только 2 и 5. Знаменатель 1 также подходит. Например, , потому что . А не имеет конечной записи: в знаменателе остаётся множитель 3.
Смысл правила связан с десятичными разрядами. Конечная запись означает дробь со знаменателем для некоторого неотрицательного целого . В таком знаменателе встречаются только двойки и пятёрки. Обратно, знаменатель из двоек и пятёрок можно домножить до степени десяти. Предварительное сокращение обязательно: , хотя в первоначальном знаменателе был множитель 3.
Возвращение к обыкновенной дроби
Для чисто периодической записи удобно сравнить число с тем же числом, умноженным на степень десяти. Обозначим . Тогда ; одинаковые бесконечные хвосты сокращаются при вычитании:
Для смешанной записи возьмём . Здесь , , поэтому и . Мы сначала расположили одинаковые периодические хвосты в одних разрядах. Это объясняет, почему нельзя без разбора делить все цифры записи на 99.
В общем случае такой же приём переводит конечный предпериод и конечный период в отношение целых чисел. Поэтому бесконечная периодическая запись тоже рациональна. Запись представляет число 1: тем же способом даёт . Две десятичные записи одного числа здесь не означают два разных числа.
Проверьте утверждение «бесконечная десятичная дробь обязательно иррациональна». Уже его опровергает. И наоборот, несколько показанных цифр сами по себе ещё не доказывают периодичность: нужно знать, как продолжается запись, например что это точное значение .