Неправильная дробь и смешанное число

Есть одиннадцать четвертей одинаковой полоски. Четыре четверти образуют целую полоску, ещё четыре — вторую, а три остаются. Количество можно записать как $\frac{11}{4}$ или как $2 \frac{3}{4}$ . Обе записи обозначают одно число; переход между ними опирается на смысл дроби и деление с остатком.

Правильные и неправильные дроби

Дробь с неотрицательным целым числителем и натуральным знаменателем называют правильной, если числитель меньше знаменателя, и неправильной, если числитель больше или равен знаменателю.

Правильная дробь меньше 1: например, $\frac{3}{4}$ . Неправильная дробь больше или равна 1: $\frac{5}{4} > 1$ , а $\frac{4}{4} = 1$ . Название «неправильная» не означает ошибку. Такая запись особенно удобна при вычислениях.

Одиннадцать четвертей составляют две целые полоски и три четверти третьей. — Рис. 1. Группы по четыре четверти дают целые единицы; оставшиеся три доли дают дробную часть.

Смешанное число — запись суммы натурального числа и правильной положительной дроби без знака сложения между ними.

Поэтому $2 \frac{3}{4}$ означает $2 + \frac{3}{4}$ , а не $2 \cdot \frac{3}{4}$ . Если дробной части нет, записывают просто целое число: $\frac{8}{4} = 2$ . Для числа меньше 1 нулевая целая часть не нужна: пишут $\frac{3}{4}$ , а не $0 \frac{3}{4}$ .

Как выделить целую часть

Чтобы перейти от неправильной дроби к смешанному числу, нужно узнать, сколько полных групп долей содержится в числителе. В $\frac{11}{4}$ каждая группа состоит из четырёх долей: $11 = 2 \cdot 4 + 3$ . Поэтому

\frac{11}{4} = 2 + \frac{3}{4} = 2 \frac{3}{4} .

Общий способ выражает то же рассуждение. При $a = q b + r$ , где $b > 0$ и $0 \leq r < b$ , имеем $\frac{a}{b} = q + \frac{r}{b}$ . Буква $q$ обозначает число полных единиц, $r$ — число оставшихся долей. При $r = 0$ результат целый.

Разберём $\frac{23}{6}$ . Деление 23 на 6 даёт три целых группы и остаток 5: $23 = 3 \cdot 6 + 5$ . Получаем $\frac{23}{6} = 3 \frac{5}{6}$ . Проверка восстановлением числителя: $3 \cdot 6 + 5 = 23$ .

Как собрать дробь из смешанного числа

В числе $3 \frac{2}{5}$ каждая целая единица содержит пять пятых. Три единицы дают 15 пятых; вместе с ещё двумя получаем 17 пятых:

3 \frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5} .

В общем случае $n \frac{a}{b} = \frac{nb + a}{b}$ , где $n$ — натуральное число, $0 < a < b$ , $a$ и $b$ — целые, $b > 0$ . Знаменатель остаётся прежним: мы считаем всё те же доли. Ошибка $3 \frac{2}{5} = \frac{5}{5}$ возникает, если сложить целую часть с числителем, не превратив целые единицы в пятые.

Две записи и одна точка

На числовом луче $\frac{11}{4}$ и $2 \frac{3}{4}$ совпадают. Можно от нуля сделать одиннадцать шагов по четверти, а можно сначала пройти две единицы и затем три четверти. Единичный отрезок и размер четверти при этом не меняются.

На луче от нуля до трёх отмечена точка одиннадцать четвертей, она же две целых три четверти. — Рис. 2. Разные способы отсчёта приводят к одной координате.

Какой целой частью обладает $\frac{12}{4}$ ? Ответ — 3, дробная часть отсутствует. А $\frac{13}{4} = 3 \frac{1}{4}$ : добавление одной четверти переносит точку на четверть правее. Так можно проверить переход, не вспоминая правило механически.