Доля, дробь и целое. Дробь на числовом луче

Плитку разделили на четыре одинаковые части и взяли три. Как записать взятое количество, если за единицу принять всю плитку? Одна часть — четверть, а три части — три четверти. Чтобы понять эту запись, достаточно уметь делить поровну и пользоваться числовым лучом.

Рукописная полоска разделена на четыре равные части; три слева выделены и подписаны «три четверти». — Рис. 1. Три четверти составлены из трёх одинаковых четвертей одного целого.

Что называют долей и дробью

Доля — одна из равных частей целого. Обыкновенная дробь показывает, сколько таких долей взято: знаменатель называет число равных частей в одном целом, числитель — число взятых долей.

Дробь записывают так:

\frac{a}{b} .

Здесь $a$ — числитель, $b$ — знаменатель. В этой статье $a$ — целое неотрицательное число, $b$ — натуральное число, поэтому $b > 0$ . Дробную черту читают и как знак деления. Например, $\frac{3}{4}$ читается «три четверти», а $\frac{1}{6}$ — «одна шестая». Запись $\frac{0}{4}$ означает, что ни одной четверти не взяли: её значение равно нулю.

Равенство частей существенно. Если разрезать полоску на четыре части разной длины, каждая из них не обязана составлять четверть. Знаменатель описывает число равных долей, а не просто число кусков.

Почему нужно назвать целое

За целое можно принять полоску длиной 12 см или полоску длиной 20 см. Половина первой имеет длину 6 см, половина второй — 10 см. Дробь одинакова, но количество различается, потому что единицы сравнения разные.

Полоски длиной 12 и 20 см показаны в одном масштабе; их половины имеют длины 6 и 10 см. — Рис. 2. Одна и та же доля разных целых может давать разные величины.

Разберём пример. Ленту длиной 20 см разделили на пять равных частей и взяли три. Сначала находим длину одной пятой: $20 : 5 = 4$ см. Затем трёх пятых: $4 \cdot 3 = 12$ см. Ответ — 12 см; запись $\frac{3}{5}$ показывает долю всей ленты, а не длину в сантиметрах. Обратная проверка: пять отрезков по 4 см действительно составляют 20 см.

Дробь как число на луче

Выберем на луче единичный отрезок от 0 до 1. Чтобы отметить $\frac{5}{6}$ , разделим его на шесть равных промежутков и отсчитаем от нуля пять. Считают промежутки, а не все отметки вместе с нулём. Полученная точка расположена левее 1, потому что до целой единицы не хватает одной шестой.

Отрезок от нуля до единицы разделён на шесть равных промежутков; пятая отметка обозначает пять шестых. — Рис. 3. Знаменатель задаёт размер шага, числитель — число шагов от нуля.

Если числитель равен знаменателю, взяты все доли одного целого: $\frac{6}{6} = 1$ . Можно отсчитывать доли и дальше единицы: семь шестых лежат правее 1. Эту запись подробнее разбирает статья о неправильных дробях и смешанных числах.

Проверка понимания

Можно ли сравнить длины «половина первой ленты» и «треть второй ленты», не зная длины самих лент? Нет. Половина 6 см равна 3 см, а треть 12 см — 4 см: в этом примере треть длиннее половины. При сравнении чисел $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$ на луче единица общая, и половина больше трети. Всегда выясняйте, сравниваются ли доли одной единицы или количества от разных целых.