Равные дроби, сокращение и общий знаменатель

Половину полоски можно показать одной из двух равных частей или двумя из четырёх. Выбранная длина не меняется: меняется только размер доли и число долей. На этой модели из статьи о дроби основаны равные дроби, сокращение и общий знаменатель.

Изменить разбиение, сохранить количество

Одинаковые полоски разделены на две, четыре и восемь долей; в каждой выделена половина. — Рис. 1. Одна вторая, две четвёртых и четыре восьмых занимают одинаковую часть одного целого.

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, получится равная ей дробь.

\frac{a}{b} = \frac{ak}{bk} .

Здесь $a$ — целое неотрицательное число, $b$ и $k$ — натуральные числа. Знаменатель положителен; умножать обе части записи на нуль нельзя. Если каждую из $b$ долей разделить ещё на $k$ равных частей, в целом станет $bk$ долей, а в выбранной части — $ak$ . Количество остаётся тем же. Это объясняет свойство для любой такой дроби, а не только для половины.

Для дробей больше единицы рассуждение сохраняется: дробь считает доли одинаковых единиц, и каждую долю можно подразделить. Например, $\frac{3}{2} = \frac{6}{4}$ . Получается одна и та же длина — полторы единицы.

Сокращение как обратный размен

Сократить дробь — разделить её числитель и знаменатель на их общий натуральный делитель больше 1.

Из основного свойства следует, что этот переход сохраняет значение: если $a = c k$ и $b = d k$ , то $\frac{a}{b} = \frac{c k}{d k} = \frac{c}{d}$ . Для $\frac{18}{24}$ можно разделить оба числа на 2 и получить $\frac{9}{12}$ , затем на 3 и получить $\frac{3}{4}$ . Ни 3, ни 4 уже не делятся на общее натуральное число больше 1.

Дробь, числитель и знаменатель которой взаимно простые, называют несократимой. В продолжении для 6 класса удобно использовать НОД: $НОД (18, 24) = 6$ , поэтому сразу получаем $\frac{18 : 6}{24 : 6} = \frac{3}{4}$ . У дроби $\frac{0}{7}$ числитель тоже делится на 7; после сокращения получается $\frac{0}{1} = 0$ .

Прибавление одинакового числа не сохраняет дробь: $\frac{1}{2} \neq = \frac{2}{3}$ . В первой записи взята половина, во второй — две трети. Свойство относится к умножению и к делению на общий делитель, а не ко всем действиям сразу.

Общий знаменатель в простом случае

Чтобы сравнивать или складывать дроби, удобно считать одинаковые доли. У $\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{4}$ можно выбрать четверти: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ . Число 4 — общий знаменатель этих записей. Оно делится и на 2, и на 4, поэтому переход выполняется целыми множителями.

Общий знаменатель всегда существует: произведение положительных знаменателей делится на каждый из них. Но оно может давать слишком мелкие доли. Для $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{4}$ знаменатель 8 подходит, однако 4 удобнее.

Общий способ для 6 класса

Теперь требуется знание кратных и НОК. Для $\frac{5}{6}$ и $\frac{7}{9}$ наименьший общий знаменатель равен $НОК (6, 9) = 18$ . Чтобы превратить шестые в восемнадцатые, каждую шестую делят на три доли; для девятых — на две:

\frac{5}{6} = \frac{15}{18}, \frac{7}{9} = \frac{14}{18} .

Одинаковые полоски показывают пять шестых и семь девятых; обе записи переведены в восемнадцатые. — Рис. 2. Общий знаменатель меняет размер доли в обеих записях, сохраняя каждое количество.

Алгоритм состоит из трёх действий: выбрать общее кратное знаменателей; разделить его на каждый знаменатель; умножить соответствующий числитель на найденный множитель. Выбор знаменателя 18 вместо 54 делает вычисление короче, но оба варианта верны.

Проверьте утверждение: «Достаточно увеличить только знаменатель $\frac{5}{6}$ в три раза». Тогда получится $\frac{5}{18}$ — в три раза меньшее число. При равном количестве число долей и число долей в целом должны изменяться согласованно.