Сравнение, сложение и вычитание дробей

Половина ленты и ещё треть той же ленты вместе занимают больше половины, но меньше целой ленты. Чтобы узнать точную долю, нужно пересчитать обе части одинаковыми мерками. Эту возможность дают равные дроби и общий знаменатель.

Как сравнивать доли

Из двух дробей с одинаковыми положительными знаменателями больше та, у которой больше числитель.

Например, $\frac{5}{8}>\frac{3}{8}$: пять одинаковых долей больше трёх. При одинаковых положительных числителях дробь с меньшим знаменателем больше: $\frac{3}{5}>\frac{3}{8}$. Если одно целое разделить на большее число долей, каждая доля будет меньше. При нулевых числителях обе дроби равны нулю, поэтому условие о положительности здесь нужно.

Для разных числителей и знаменателей выберем общую долю. В простом случае $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$, а $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$, следовательно, $\frac{1}{2}>\frac{1}{3}$. В 6 классе таким же способом сравнивают произвольные положительные дроби: $\frac{5}{6}=\frac{10}{12}>\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$. На луче большее число располагается правее.

Сложение и вычитание одинаковых долей

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, складывают числители и сохраняют знаменатель. При вычитании вычитают числители и сохраняют знаменатель.

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b},\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}.$$

Здесь $b$ — натуральное число, $a$ и $c$ — целые неотрицательные числа. Для вычитания в пределах неотрицательных чисел нужно $a\ge c$. Мы изменяем число долей, а не размер доли: $\frac{2}{8}+\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$, а не $\frac{5}{16}$.

Если знаменатели различаются, сначала приводим дроби к общему знаменателю. Для суммы половины и трети ленты получаем:

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}.$$

Проверка соответствует исходной оценке: $\frac{5}{6}$ больше $\frac{1}{2}$, но меньше 1. Запись $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{5}$ не проходит даже эту проверку: две пятых меньше первого слагаемого. У суммы положительных чисел такого быть не может.

Разобранный пример с разными знаменателями

В 6 классе используем общий способ. Из $\frac{5}{6}$ ленты вырезали $\frac{1}{4}$ всей исходной ленты. Знаменатели 6 и 4 имеют НОК 12, поэтому $\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$, а $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$. Вычитаем одинаковые доли:

$$\frac{5}{6}-\frac{1}{4}=\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}.$$

Осталось $\frac{7}{12}$ исходной ленты. Проверяем обратным действием: $\frac{7}{12}+\frac{3}{12}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$. Если бы вырезали четверть имеющегося остатка, это была бы другая задача: здесь важно общее целое.

При сравнении через произведения можно писать $\frac{a}{b}>\frac{c}{d}$ тогда и только тогда, когда $ad>bc$, если $b,d>0$. Оба числа приводятся к знаменателю $bd$; порядок определяется числителями. Это короткая запись того же способа, а не отдельное правило без объяснения.

Смешанные числа и размен единицы

Для вычисления $2\frac{1}{4}-\frac{5}{6}$ удобно сначала перейти к неправильной дроби:

$$2\frac{1}{4}-\frac{5}{6}=\frac{9}{4}-\frac{5}{6}=\frac{27}{12}-\frac{10}{12}=\frac{17}{12}=1\frac{5}{12}.$$

Другой способ сохраняет целую часть. Запишем $2\frac{1}{4}=2\frac{3}{12}$. Трёх двенадцатых не хватает, чтобы вычесть десять; одну целую единицу размениваем на двенадцать долей: $2\frac{3}{12}=1\frac{15}{12}$. После вычитания получаем тот же ответ.

Почему нельзя получить отрицательную дробную часть и забыть про целую? Смешанная запись требует правильной положительной дроби рядом с целой частью. Проверим ответ: $1\frac{5}{12}+\frac{5}{6}=1\frac{15}{12}=2\frac{1}{4}$. Для отрицательных результатов позже используются правила действий с числами разных знаков; они не нужны для начальных примеров этой статьи.