Умножение и деление дробей. Взаимно обратные числа

Взяли три четверти листа, а затем две трети взятой части. Осталась ли половина исходного листа? Ответ можно увидеть, разделив лист на одинаковые клетки. Для чтения этой модели нужны смысл дроби и равные дроби; вычисления со смешанными числами используют их перевод в неправильную дробь.

Доля от доли

Разделим прямоугольник на четыре равных столбца и три равных ряда. Три четверти — три столбца из четырёх. Две трети этой части — два ряда внутри выбранных столбцов. Выбраны шесть клеток из двенадцати: $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ .

Прямоугольник разбит на три ряда и четыре столбца; пересечение двух рядов с тремя столбцами содержит шесть клеток. — Рис. 1. Две трети от трёх четвертей составляют шесть двенадцатых исходного целого.

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, перемножают их числители и перемножают их знаменатели.

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d} .

Здесь $a, c$ — целые неотрицательные числа, $b, d$ — натуральные числа. При долях не больше единицы разбиение на $b$ рядов и $d$ столбцов даёт $b d$ одинаковых клеток; выбранное пересечение содержит $a c$ . Для дробей больше 1 та же мерка повторяется на нескольких единицах: число долей в произведении считают тем же способом. Нуль в числителе даёт нулевое произведение.

Умножение на натуральное число тоже укладывается в правило, потому что $n = \frac{n}{1}$ . Например, $\frac{3}{5} \cdot 10 = \frac{30}{5} = 6$ . Умножение положительного числа на долю меньше 1 уменьшает его: $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2} < \frac{3}{4}$ . Поэтому убеждение «умножение всегда увеличивает» неверно.

Деление как число мерок

Сколько мерок длиной $\frac{1}{8}$ единицы помещается в отрезке длиной $\frac{3}{4}$ ? Пересчитаем четверти в восьмые: $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$ . В отрезке шесть восьмых, поэтому $\frac{3}{4} : \frac{1}{8} = 6$ .

Отрезок длиной три четверти единицы разбит на шесть мерок по одной восьмой. — Рис. 2. Частное показывает число мерок, даже если сами мерки дробные.

Частное не обязано быть целым. В одной единице помещается полторы мерки по $\frac{2}{3}$ : одна полная мерка и половина ещё одной. Поэтому $1 : \frac{2}{3} = \frac{3}{2}$ . Такой смысл соответствует делению как действию, обратному умножению.

Взаимно обратное число и общий способ

Два числа называют взаимно обратными, если их произведение равно 1.

Для ненулевой дроби $\frac{c}{d}$ обратное число — $\frac{d}{c}$ : $\frac{c}{d} \cdot \frac{d}{c} = 1$ . Нуль обратного числа не имеет: его произведение с любым числом равно нулю. Число 1 обратно самому себе, а для целого 5 обратное равно $\frac{1}{5}$ .

Чтобы разделить число на ненулевую дробь, его умножают на число, обратное делителю.

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a d}{b c} .

Здесь $b, d > 0$ и $c > 0$ ; числитель $a$ может быть нулём. Обоснование использует обратное действие: умножим предложенное частное $\frac{a d}{b c}$ на $\frac{c}{d}$ . Получим $\frac{a d c}{b c d} = \frac{a}{b}$ , потому что ненулевые $c$ и $d$ сокращаются. Значит, найдено именно число, которое при умножении на делитель возвращает делимое. Деление на нуль этим рассуждением не определяется.

Вычисления для 6 класса

Разберём $1 \frac{1}{2} : \frac{3}{5}$ . Переводим смешанное число: $1 \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ . Обращаем делитель, затем умножаем:

\frac{3}{2} : \frac{3}{5} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{2} = 2 \frac{1}{2} .

Проверка: $\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{2}$ . Если обратить обе дроби или только делимое, исходное число не восстановится. Поскольку делитель $\frac{3}{5}$ меньше 1, частное должно быть больше $\frac{3}{2}$ — ответ согласуется с оценкой.

Перед умножением удобно сокращать общие множители числителя и знаменателя будущего произведения. Например, $\frac{14}{15} \cdot \frac{25}{21} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3} = \frac{10}{9}$ . Здесь 14 и 21 разделены на 7, а 25 и 15 — на 5. Сокращаются множители произведения; переносить такой приём на слагаемые суммы нельзя.