Десятичная дробь: запись, сравнение и округление

Длина 2 м и ещё 407 тысячных метра записывается как 2,407 м. Цифры справа от запятой продолжают десятичные разряды: после единиц идут десятые, сотые и тысячные. Чтобы читать запись, важно понимать долю целого.

Доли в десятичной записи

Десятичная дробь — запись числа с помощью десятичных разрядов, в которой запятая отделяет целую часть от дробной. Конечная десятичная запись выражает число целым числом десятых, сотых, тысячных или более мелких десятичных долей.

2, 407 = 2 + \frac{4}{10} + \frac{0}{100} + \frac{7}{1000} .

В числе 2,407 цифра 4 обозначает десятые, 0 — отсутствие сотых, 7 — тысячные. Пропускать внутренний нуль нельзя: 2,47 — другое число. Приписывание нулей в конце дробной части значения не меняет: $2, 4 = 2, 40 = 2, 400$ , потому что четыре десятых — это сорок сотых или четыреста тысячных.

В записи 2,407 показаны единицы, десятые, сотые и тысячные; вклад каждой цифры указан под её разрядом. — Рис. 1. Каждый следующий разряд справа выражает в десять раз меньшую долю.

Для $\frac{7}{100}$ нужна запись 0,07: семь сотых стоят во втором разряде после запятой. Запись 0,7 означает семь десятых и в десять раз больше. Нуль перед запятой показывает отсутствие целых единиц.

Сравнение по разрядам

Сначала сравнивают целые части, затем десятые, сотые и следующие разряды до первого различия. Разберём 0,7 и 0,68. Первая запись равна 0,70: семьдесят сотых больше шестидесяти восьми, поэтому $0, 7 > 0, 68$ . Количество цифр после запятой само по себе не определяет порядок.

Для чисел 3,205 и 3,25 целые части и десятые совпадают. Но у первого числа нуль сотых, у второго — пять сотых, поэтому $3, 205 < 3, 250$ . Добавленный конечный нуль только помогает выровнять разряды. На луче десятичные дроби отмечают той же единицей: 0,68 находится между 0,6 и 0,7.

Почему $0, 50 = 0, 5$ , но $0, 05 \neq = 0, 5$ ? В первом случае 50 сотых равны пяти десятым; во втором пять сотых составляют лишь половину одной десятой. Важен разряд цифры 5, а не наличие нуля вообще.

Округление как выбор ближайшего значения

Округлить неотрицательное число до заданного разряда — заменить его ближайшим числом, у которого более мелкие разряды равны нулю; при равном расстоянии до двух таких чисел выбирают большее.

Для округления до сотых рассмотрим 3,746. Оно находится между 3,74 и 3,75: расстояния равны 0,006 и 0,004. Ближе второе число, поэтому $3, 746 \approx 3, 75$ . Знак приближённого равенства нужен: исходное число и результат отличаются.

На луче между 3,74 и 3,75 отмечены середина 3,745 и число 3,746, которое ближе к 3,75. — Рис. 2. Округление выбирает ближайшую сотую; середина задаёт границу выбора.

Отсюда получается привычный способ: посмотреть на цифру сразу справа от сохраняемого разряда. При 0–4 сохраняют последнюю цифру, при 5–9 увеличивают её на 1; следующие цифры отбрасывают. Например, $9, 996 \approx 10, 00$ до сотых: перенос проходит через девятки. Два нуля в ответе показывают выбранный разряд точности.

Точность записи и проверка

Округление до сотых даёт отличие от точного неотрицательного значения не больше 0,005. Это половина шага 0,01 между соседними сотыми. До десятых отличие не больше 0,05. Такие границы позволяют оценить, достаточно ли выбранной точности.

Можно ли округлить 3,746 сначала до сотых, затем до десятых? Получится 3,75, затем 3,8. Но непосредственное округление исходного числа до десятых даёт 3,7, потому что цифра сотых равна 4. Поэтому округляйте исходное значение сразу до нужного разряда: промежуточное округление может изменить ответ. Для отрицательных чисел и более общего понятия погрешности используется продолжение в статье о приближениях.