Действия с десятичными дробями

Покупки стоят 2,75 рубля и 0,8 рубля. Их стоимость нельзя складывать так, будто цифры 5 и 8 относятся к одному разряду: первая обозначает сотые, вторая — десятые. Десятичная запись позволяет сначала согласовать доли, затем выполнить знакомое действие.

Сложение и вычитание по разрядам

Запишем 0,8 как 0,80. В обоих числах теперь считаются сотые: $2, 75 = \frac{275}{100}$ и $0, 80 = \frac{80}{100}$ . Поэтому

2, 75 + 0, 8 = \frac{275 + 80}{100} = 3, 55.

Ответ — 3,55 рубля. При письменном вычислении единицы располагают под единицами, десятые — под десятыми, сотые — под сотыми. Запятые оказываются друг под другом. Перенос работает по тому же правилу, что для натуральных чисел: десять сотых составляют одну десятую.

Числа 2,75 и 0,80 расположены по одинаковым разрядам; их сумма равна 3,55. — Рис. 1. Выравнивание по запятой сохраняет значение каждой цифры при сложении.

Вычитание объясняется так же: $5, 2 - 1, 37 = 5, 20 - 1, 37 = 3, 83$ . Когда сотых не хватает, одну десятую разменивают на десять сотых; при необходимости одну единицу — на десять десятых. Проверка: $3, 83 + 1, 37 = 5, 20$ .

Почему в произведении считают десятичные знаки

Доли в множителях определяют размер доли в результате. По правилу умножения дробей

1, 2 \cdot 0, 3 = \frac{12}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{36}{100} = 0, 36.

Если в первом множителе $m$ цифр после запятой, его можно выразить целым числителем со знаменателем $1 0^{m}$ . У второго знаменатель $1 0^{n}$ . В произведении получается знаменатель $1 0^{m + n}$ : число мест после запятой складывается. Буквы $m, n$ здесь обозначают целые неотрицательные числа, а $1 0^{0} = 1$ .

Полоска длиной 1,2 единицы разбита на десятые; выделены три ряда из десяти, всего 36 сотых клетки единичной площади. — Рис. 2. Произведение 1,2 и 0,3 выражает 36 сотых, а не 36 десятых.

При письменном вычислении сначала умножают целые числители, затем отсчитывают нужные места справа. Например, $0, 04 \cdot 0, 3 = \frac{4}{100} \cdot \frac{3}{10} = \frac{12}{1000} = 0, 012$ . Если цифр недостаточно, добавляют нули слева. Проверка величины: умножение положительного 0,04 на число меньше 1 должно его уменьшить.

Деление на натуральное число

Частное $7, 56 : 3$ можно получить делением 756 сотых на 3: получается 252 сотых, то есть 2,52. При делении столбиком переход от целых единиц к десятым отмечают запятой в частном. Остаток затем разменивают в более мелкие доли.

Если целая часть делимого меньше делителя, частное начинается с нуля: $0, 84 : 4 = 0, 21$ . Не всякое деление заканчивается: $1 : 3 = 0, 333 \dots$ . При остановке вычисления результат обычно приближённый; нельзя приписывать точное равенство произвольно обрезанной записи.

Как сделать делитель целым

Если делимое и ненулевой делитель умножить на одно и то же ненулевое число, частное не изменится.

Для положительных десятичных дробей удобно выбрать 10, 100 или 1000. Разберём $4, 68 : 0, 12$ : умножим оба числа на 100 и получим $468 : 12 = 39$ .

Делимое 4,68 и делитель 0,12 одновременно увеличены в сто раз; частное 39 сохраняется. — Рис. 3. Общий сдвиг разрядов меняет обе величины одинаково, поэтому число мерок остаётся прежним.

Обоснование можно проверить умножением: если $A : B = q$ , то $q B = A$ , а после общего увеличения $q (100 B) = 100 A$ . Частное остаётся $q$ . Общий множитель не должен быть нулём, и делитель тоже.

Проверим пример: $39 \cdot 0, 12 = 4, 68$ . Если увеличить только делитель, получится $4, 68 : 12 = 0, 39$ — это другое частное. При делении $0, 48 : 0, 6 = 4, 8 : 6 = 0, 8$ мы сдвигаем разряды на одну позицию; делимое после этого не обязано стать целым.

Как выбрать удобную запись

В 6 классе используйте свойства действий, чтобы сокращать вычисления. Например, $2, 5 \cdot 0, 37 \cdot 4 = (2, 5 \cdot 4) \cdot 0, 37 = 3, 7$ . Перестановка и группировка множителей сохраняют произведение. Но скобки в разности и частном менять произвольно нельзя: их смысл разбирается в статье о порядке действий.