Переход между обыкновенной и десятичной записью

Записи $\frac{3}{4}$ и 0,75 называют одно число. Первая показывает три четверти, вторая — семьдесят пять сотых. Переход между ними основан на равных дробях, десятичных разрядах и делении.

Из десятичной записи в обыкновенную

У конечной десятичной записи считаем места после запятой. Одно место означает знаменатель 10, два — 100, три — 1000. Числитель получаем из записи без запятой, затем при необходимости сокращаем.

Разберём 0,375. Это 375 тысячных:

0, 375 = \frac{375}{1000} = \frac{3}{8} .

Последний переход делит числитель и знаменатель на 125. Проверка: три восьмых равны $\frac{3 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{375}{1000}$ . Для числа 2,4 получается $\frac{24}{10} = \frac{12}{5} = 2 \frac{2}{5}$ . Целую часть учитывают вместе со всеми цифрами.

Одинаковые полоски показывают три четверти и семьдесят пять сотых; выделенные части совпадают. — Рис. 1. Переход к сотым изменяет запись, сохраняя одну и ту же часть целого.

Из обыкновенной записи в десятичную

В простых случаях удобно привести знаменатель к 10, 100 или 1000. Например, $\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 0, 35$ , потому что $20 \cdot 5 = 100$ . Если удобный множитель не виден, делим числитель на знаменатель. Для $\frac{3}{8}$ получаем $3 : 8 = 0, 375$ .

При делении $3 : 8$ три единицы размениваем на 30 десятых. Получаем три десятых, остаток шесть десятых; это 60 сотых. Получаем семь сотых, остаток четыре сотых; это 40 тысячных. Последнее деление даёт пять тысячных без остатка. Нулевой остаток завершает точную запись.

Когда запись заканчивается: продолжение для 6 класса

Здесь нужны простые множители. У чисел $10, 100, 1000, \dots$ в разложении есть только двойки и пятёрки. Поэтому знаменатель несократимой дроби должен собираться только из этих множителей, чтобы его можно было превратить в степень 10.

Дробь с целым числителем и положительным целым знаменателем имеет конечную десятичную запись тогда и только тогда, когда после сокращения её знаменатель не содержит простых множителей, отличных от 2 и 5. Знаменатель 1 также даёт конечную запись.

Докажем оба направления. Если знаменатель равен $2^{r} 5^{s}$ , дополним меньшую степень до большей: получим $2^{k} 5^{k} = 1 0^{k}$ , где $k$ — большее из $r$ и $s$ . Это даёт конечную запись. Обратно, конечная запись выражается дробью со знаменателем $1 0^{k}$ . Сокращение удаляет некоторые двойки и пятёрки, но не создаёт новые простые множители. Значит, в оставшемся знаменателе других простых множителей быть не может.

После сокращения знаменатели 8 и 20 состоят из двоек и пятёрок, а знаменатель 6 содержит тройку. — Рис. 2. Проверяют знаменатель несократимой дроби, а не исходной записи.

Например, $\frac{6}{15} = \frac{2}{5} = 0, 4$ : тройка исходного знаменателя исчезла при сокращении. А $\frac{1}{6}$ несократима и содержит тройку в знаменателе — конечной записи нет. Этот пример показывает, зачем условие о сокращении входит в утверждение.

Период и приближение: продолжение для 7 класса

При делении $1 : 6$ первая цифра после запятой равна 1, затем остаток 4 повторяется. Каждый следующий шаг даёт цифру 6 и тот же остаток. Поэтому

\frac{1}{6} = 0, 1666 \dots = 0, 1 (6) .

Скобки обозначают повторяющийся блок цифр, период. У $\frac{1}{7} = 0, (142857)$ блок длиннее. Почему повторение неизбежно? При делении на натуральный $b$ возможны только остатки от 0 до $b - 1$ . Если нулевой остаток не встретился, среди конечного набора ненулевых остатков один повторится. От одинакового остатка последующие цифры повторяются в том же порядке.

Запись $\frac{1}{6} = 0, 17$ неверна как точное равенство. До сотых верно $\frac{1}{6} \approx 0, 17$ . А 0,1(6) — точная бесконечная запись. Дальнейшая связь периодических дробей и рациональных чисел разбирается в общей статье о рациональных числах.