Отношение величин и деление в данном отношении

Для смеси берут две мерки красной краски и три мерки белой. Из пяти одинаковых мерок получается одна порция. Если каждую мерку увеличить вдвое, цветовая пропорция сохранится: важны не абсолютные количества, а их отношение. Здесь пригодится различие части и целого.

Отношение как сравнение частным

Отношение двух чисел — их частное; второе число должно быть ненулевым. Запись a : b означает отношение первого числа ко второму.

a : b = \frac{a}{b}, b \neq = 0.

В этой статье прикладные величины положительны. Для двух мерок красной и трёх мерок белой отношение красной к белой равно $2 : 3 = \frac{2}{3}$ . Обратное отношение равно $3 : 2 = \frac{3}{2}$ . Порядок имеет значение: слова «первой величины ко второй» определяют числитель и знаменатель.

При одинаковом увеличении количеств отношение сохраняется: $2 : 3 = 4 : 6 = 10 : 15$ . Это следует из основного свойства дроби. Добавление одинакового количества такого свойства не имеет: $2 : 3 \neq = 3 : 4$ .

Единицы должны соответствовать сравнению

Отношение одноимённых величин находят после перевода в одинаковые единицы. Отношение 30 см к 1,5 м равно $30 : 150 = 1 : 5$ . Если взять числа 30 и 1,5 без перевода, получится 20 — неверное сравнение длин.

Отрезки 30 и 150 см изображены в одном масштабе; больший состоит из пяти меньших. — Рис. 1. Общая единица делает отношение длин независимым от способа их записи.

Частное разноимённых величин может иметь собственную единицу. Например, 180 км за 3 ч дают $180 : 3 = 60$ км/ч. Это скорость, а не безразмерная доля. Поэтому для каждого отношения нужно понять, что сравнивается и какие единицы остаются.

Деление целого в данном отношении

Разделить положительную величину в отношении m : n — найти две части, сумма которых равна всей величине, а отношение первой части ко второй равно m : n.

Здесь $m, n > 0$ . Если каждая условная мерка содержит одинаковое количество, первая часть включает $m$ мерок, вторая — $n$ . Всего $m + n$ мерок; одна мерка равна $W : (m + n)$ , где $W$ — всё количество.

Разберём задачу: 350 г смеси делят между двумя компонентами в отношении $2 : 3$ по массе. Всего пять условных мерок, каждая содержит $350 : 5 = 70$ г. Тогда первая часть равна $70 \cdot 2 = 140$ г, вторая — $70 \cdot 3 = 210$ г.

Масса 350 г разбита на пять равных мерок по 70 г; две мерки дают 140 г, три — 210 г. — Рис. 2. Сумма чисел отношения определяет число одинаковых мерок во всём количестве.

Проверим оба условия: $140 + 210 = 350$ г и $140 : 210 = 2 : 3$ . Одной проверки суммы недостаточно: 150 г и 200 г дают те же 350 г, но отношение $3 : 4$ .

Отношение частей и доля в целом

В отношении $2 : 3$ первая часть составляет $\frac{2}{5}$ целого, а не $\frac{2}{3}$ . Дробь $\frac{2}{3}$ сравнивает первую часть со второй, тогда как $\frac{2}{5}$ сравнивает первую часть со суммой. Это разные основания сравнения.

Для трёх частей в отношении $2 : 3 : 5$ число мерок равно $2 + 3 + 5 = 10$ . При целом 600 г одна мерка — 60 г; части равны 120, 180 и 300 г. Сумма даёт 600 г, а деление всех трёх масс на 60 восстанавливает заданные числа отношения.

Может ли «первая часть меньше второй» однозначно определить отношение? Нет: подходят $1 : 2$ , $2 : 3$ и многие другие варианты. Для точного распределения нужно знать само отношение и величину целого.