Часть от целого и целое по его части

В книге 40 страниц, прочитаны три пятых. Сколько страниц прочитано? А если известно, что 24 прочитанные страницы составляют три пятых книги, сколько страниц в ней? В обеих задачах используется одна схема из равных долей, но неизвестны разные величины.

Найти часть по целому

Разделим 40 страниц на пять равных групп: в каждой $40:5=8$ страниц. Три такие группы содержат $8\cdot 3=24$ страницы. Поэтому три пятых книги — это 24 страницы.

Чтобы найти часть величины, выраженную дробью, целую величину умножают на эту дробь.

$$A=W\cdot f.$$

Буква $W$ обозначает целую величину, $f$ — долю, $A$ — соответствующую часть. В обычной задаче о части $W>0$ и $0\le f\le 1$. В примере $f=\frac{3}{5}$, поэтому $40\cdot \frac{3}{5}=24$. В 5 классе смысл можно раскрыть двумя действиями: разделить на знаменатель и умножить на числитель. Общая запись через умножение дробей удобна в 6 классе.

Восстановить целое по части

Теперь известны 24 страницы и доля $\frac{3}{5}$. Три одинаковые группы содержат 24 страницы, значит, одна группа — $24:3=8$ страниц. В целой книге пять групп, поэтому всего $8\cdot 5=40$ страниц.

Чтобы найти целую величину по её известной ненулевой доле, величину части делят на эту долю.

$$W=A:f.$$

Здесь $A$ и $W$ измерены в одинаковых единицах, а $f>0$. Для доли $\frac{3}{5}$ получаем $24:\frac{3}{5}=24\cdot \frac{5}{3}=40$. Проверка повторяет прямую задачу: три пятых от 40 равны 24. Если $f=0$, часть равна нулю при любом целом; восстановить единственное целое по такой информации нельзя.

Какую долю составляет одна величина от другой

Есть третья задача: известно, что из 40 страниц прочитаны 24. Делим число прочитанных страниц на число всех страниц:

$$f=\frac{A}{W}=\frac{24}{40}=\frac{3}{5}.$$

При $W>0$ это отношение показывает долю целого. Если сравнивают длины, сначала приводят их к одной единице: 30 см от 1 м — это $\frac{30}{100}=\frac{3}{10}$, а не $\frac{30}{1}$. Доля безразмерна, потому что одинаковые единицы сокращаются.

Путать долю и количество нельзя. Ответ «$\frac{3}{5}$ страницы» не подходит к вопросу о количестве прочитанных страниц в первой задаче: там 24 страницы. А к вопросу «какая часть книги прочитана?» подходит $\frac{3}{5}$ без единицы «страница».

Проверить целое по смыслу

После чтения 24 страниц осталось 16. Эти 16 страниц составляют $\frac{2}{5}$ той же книги, потому что $1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$. Если часть меньше целого, ответ на обратную задачу должен быть больше известной части. Полученные 40 страниц удовлетворяют этому условию.

Составляет ли 24 «три пятых» от 24? Нет: $\frac{24}{24}=1$, а три пятых от 24 равны 14,4. Выбор целого определяет дробь. Если вместо части дана величина, превышающая выбранную базу, отношение может быть больше 1, но тогда оно уже не описывает часть внутри этого целого.