Пропорции и масштаб

Три одинаковые мерки соответствуют пяти делениям шкалы. Если мерок станет в четыре раза больше, делений тоже должно стать в четыре раза больше: $3 : 5 = 12 : 20$ . Равенство двух отношений позволяет находить неизвестное число, если известно соответствие величин.

Равенство отношений

Пропорция — равенство двух отношений.

a : b = c : d, \frac{a}{b} = \frac{c}{d} .

Здесь $b \neq = 0$ и $d \neq = 0$ . В записи $a : b = c : d$ числа $a, d$ называют крайними членами, $b, c$ — средними. Сами $a$ и $c$ могут быть нулевыми; положительность нужна только там, где её требует смысл величин.

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. При ненулевых вторых членах отношений верно и обратное утверждение.

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} ⟺ a d = b c (b \neq = 0, d \neq = 0) .

Обоснуем переходы. Умножение равенства дробей на ненулевое $b d$ даёт $a d = b c$ . Деление последнего равенства на то же $b d$ возвращает исходную пропорцию. Оба действия обратимы. Если знаменатель равен нулю, равенство произведений не делает дробь допустимой: отношения всё равно не определены.

Найти неизвестный член

Разберём $\frac{3}{5} = \frac{x}{20}$ . Сначала можно заметить, что знаменатель увеличился в четыре раза, поэтому числитель тоже должен увеличиться: $x = 12$ . Основное свойство даёт тот же путь: $3 \cdot 20 = 5 x$ , значит, $x = 60 : 5 = 12$ .

Соответствующие числа 3 и 5 одновременно увеличены в четыре раза и становятся 12 и 20. — Рис. 1. Одинаковый множитель сохраняет отношение и помогает найти неизвестный член.

Проверяем подстановкой: $\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$ . Если неизвестное оказалось в знаменателе, например $\frac{3}{4} = \frac{9}{x}$ , нужно заранее исключить $x = 0$ . Затем $3 x = 36$ , $x = 12$ ; найденное значение допустимо. Для прикладной задачи дополнительно проверяют единицы и смысл, например положительность длины.

Масштаб длины

Масштаб изображения — отношение длины отрезка на изображении к длине соответствующего отрезка в действительности, выраженных в одинаковых единицах.

Масштаб $1 : 25000$ означает: 1 см на плане соответствует 25 000 см в действительности, то есть 250 м. Он задаёт отношение длин, а не число метров само по себе. При масштабе $2 : 1$ изображение, наоборот, увеличено вдвое.

На карте с масштабом $1 : 25000$ отрезок имеет длину 3,2 см. Действительная длина равна $3, 2 \cdot 25000 = 80000$ см, или 800 м. Проверка: $3, 2 : 80000 = 1 : 25000$ , обе длины здесь в сантиметрах.

Линейка масштаба связывает 0, 1, 2 и 3,2 см на плане с 0, 250, 500 и 800 м в действительности. — Рис. 2. Соответствующие отметки на шкалах дают одинаковое отношение длин.

В обратной задаче для 1,5 км сначала переводим длину в сантиметры: 150 000 см. На этом плане она займёт $150000 : 25000 = 6$ см. Если саму карту распечатали крупнее, прежний численный масштаб больше не подходит; линейка масштаба, увеличенная вместе с картой, сохраняет соответствие.

Где масштаб нельзя применять напрямую

Если длины увеличены в два раза, площадь прямоугольника увеличивается в четыре раза: удваиваются и длина, и ширина. У прямоугольника $2 \times 3$ площадь 6, у $4 \times 6$ — 24. Поэтому масштаб длин $1 : 2$ соответствует отношению площадей $1 : 4$ для подобных фигур.

Также масштаб карты описывает длину изображённого отрезка. Расстояние по дороге может быть больше расстояния между её концами по прямой. Прежде чем вычислять, выясните, какой путь представлен на плане и какую величину требуется найти.