Прямая и обратная пропорциональность величин

При неизменной цене 80 рублей за килограмм покупка двух килограммов стоит вдвое больше покупки одного. А при прохождении одного и того же пути увеличение скорости вдвое уменьшает время вдвое. Эти две зависимости устроены по-разному. Для их понимания нужны отношения и согласованные единицы величин.

Прямая пропорциональность

Две положительные величины прямо пропорциональны, если их отношение постоянно: при увеличении одной величины в любое число раз другая увеличивается во столько же раз.

y = k x, \frac{y}{x} = k .

Буквы $x$ и $y$ обозначают значения величин, $k > 0$ — постоянный коэффициент; в отношении требуется $x > 0$ . Для стоимости покупки $x$ — масса в килограммах, $y$ — стоимость в рублях, $k = 80$ руб/кг. Четыре килограмма стоят $80 \cdot 4 = 320$ рублей. Проверка: $320 : 4 = 80$ руб/кг, как и для любого допустимого количества при той же цене.

Нулевую покупку можно включить как отдельное значение $x = 0$ , $y = 0$ , если условие задачи это допускает. Формула $y = k x$ действует, но частное $\frac{y}{x}$ при нуле не вычисляют.

Обратная пропорциональность

Две положительные величины обратно пропорциональны, если их произведение постоянно: при увеличении одной величины в любое число раз другая уменьшается во столько же раз.

x y = k, y = \frac{k}{x}, x > 0, k > 0.

Здесь $k$ — постоянное произведение величин; его единица зависит от задачи. Для пути длиной 120 км произведение скорости $v$ в км/ч и времени $t$ в часах равно 120 км. При 30 км/ч время равно $120 : 30 = 4$ ч, при 60 км/ч — $120 : 60 = 2$ ч. Скорость удвоилась, время уменьшилось вдвое, произведение осталось прежним.

Стоимость при цене 80 рублей за килограмм растёт вместе с массой; время пути 120 км уменьшается при росте скорости. — Рис. 1. При прямой пропорциональности сохраняется отношение, при обратной — произведение.

Нулевая скорость не входит в эту модель: при ней путь 120 км не будет пройден за конечное время. Также предполагается движение с постоянной скоростью без остановок. Дополнительные условия меняют зависимость.

Как проверить модель

Сначала назовите величину, которая должна оставаться постоянной. Для покупки — цена единицы, для времени пути — длина пути. Затем проверьте изменение: если первая величина удвоилась, что должно случиться со второй? Наконец, составьте частное или произведение и проверьте его единицу.

Например, доставка стоит 100 рублей плюс 80 рублей за каждый килограмм. Для 1 кг стоимость равна 180 рублям, для 2 кг — 260 рублям. Обе величины растут, но стоимость не удваивается, а отношения $180 : 1$ и $260 : 2$ различны. Это не прямая пропорциональность из-за постоянной добавки.

Если двое работников выполняют работу за шесть часов, четверо выполнят её за три часа только при дополнительных условиях: одинаковая производительность, делимая работа и отсутствие помех совместной работе. Нельзя выводить обратную пропорциональность только из слов «работников больше, времени меньше». Несколько совпавших числовых пар подтверждают согласованность с моделью, но постоянство во всех случаях обосновывается условием задачи.

Графики: продолжение для 7–8 классов

На координатной плоскости горизонтальная ось показывает $x$ , вертикальная — $y$ . Точка с координатами $(x; y)$ представляет одну пару значений. В 7 классе изучают линейную функцию: для $y = 2 x$ точки $(1; 2)$ , $(2; 4)$ , $(3; 6)$ лежат на прямой через начало координат. В 8 классе рассматривают график обратной пропорциональности: для $y = \frac{6}{x}$ при положительном $x$ получаем точки $(1; 6)$ , $(2; 3)$ , $(3; 2)$ на убывающей кривой.

График y = 2x проходит через начало координат; положительная ветвь y = 6/x убывает и не пересекает оси. — Рис. 2. У прямой зависимости график проходит через начало; у обратной значение x = 0 исключено.

Второй график — ветвь гиперболы. Его точки приближаются к осям, но при положительных конечных $x$ и $y$ на них не попадают. На рисунке показана часть кривой в пределах шкалы, а не весь её бесконечный ход. Для дискретных величин, например числа упаковок, в реальной задаче допустимы лишь отдельные точки, даже если формула позволяет провести непрерывную линию.