Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых

Три одинаковых набора содержат по $x$ синих и по 2 белые карточки. Общее число карточек можно записать как $3 (x + 2)$ или как $3 x + 6$ . Это два способа посчитать одни предметы; переход между записями опирается на распределительное свойство. Для примеров со знаками нужны действия с отрицательными числами и подстановка.

Каждый член скобки получает множитель

Прямоугольник шириной 3 и длиной $x + 2$ можно разделить на две части шириной 3, с длинами $x$ и 2. Сумма площадей частей равна площади всего прямоугольника. Геометрическая модель использует $x > 0$ , а арифметическое свойство работает и для отрицательных чисел.

$Прямоугольник высотой 3 разделён на части длиной x и 2; площади частей подписаны 3x и 6.$

Рис. 1. Множитель 3 относится к обоим слагаемым в скобках.

Чтобы раскрыть $a (b + c)$ , умножаем $a$ на $b$ и на $c$ : $a (b + c) = ab + a c$ . Разность можно представить суммой с противоположным числом, поэтому $a (b - c) = ab - a c$ . Например, $4 (2 x - 3) = 8 x - 12$ , а не $8 x - 3$ : число 4 умножает всю скобку.

Почему минус меняет все знаки

Минус перед скобкой означает умножение её содержимого на $- 1$ . Поэтому $- (x - 5) = - x + 5$ : противоположное числу $- 5$ равно 5. Если перед скобкой стоит плюс, содержимое сохраняет знаки: $+ (x - 5) = x - 5$ .

При отрицательном множителе распределение действует так же. В $- 2 (3 x - 4)$ получаем $- 6 x + 8$ , потому что $(- 2) \cdot (- 4) = 8$ . Для проверки при $x = 1$ исходная запись равна $- 2 \cdot (- 1) = 2$ , раскрытая — $- 6 + 8 = 2$ . Проверка помогает заметить потерянный знак, но обоснованием правила служит распределительное свойство.

Подобные слагаемые считают одну величину

Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть; при их сложении складывают коэффициенты и сохраняют буквенную часть. Числовые слагаемые также приводят между собой.

Коэффициент — числовой множитель перед буквенной частью: в $3 x$ это 3, в $- x$ это $- 1$ . Например, $3 x + 5 x = (3 + 5) x = 8 x$ . Так мы объединяем три и пять одинаковых порций по $x$ . В $3 x + 5 y$ порции разные, поэтому одной буквенной частью заменить их нельзя.

Коэффициенты при x объединяются отдельно от числовых слагаемых: 6x - 2x даёт 4x, а -15 - 8 даёт -23. — Рис. 2. Знак относится к своему слагаемому и переносится вместе с ним.

Выражение $2 x + 3$ уже не содержит подобных слагаемых. Оно не равно $5 x$ : при $x = 2$ первая запись даёт 7, вторая — 10. В 7 классе та же проверка буквенной части распространяется на степени: должны совпадать и переменные, и показатели их степеней. Поэтому $x^{2}$ и $x$ не являются подобными слагаемыми, а $3 x y$ и $- 2 y x$ подобны, потому что $x y = y x$ .

Упрощаем выражение целиком

Разберём $3 (2 x - 5) - 2 (x + 4)$ . Раскрываем первую скобку: $6 x - 15$ . Во второй учитываем множитель $- 2$ и получаем $- 2 x - 8$ . После этого объединяем члены с $x$ и числовые члены:

3 (2 x - 5) - 2 (x + 4) = 6 x - 15 - 2 x - 8 = 4 x - 23.

При $x = 2$ исходная запись даёт $3 \cdot (- 1) - 2 \cdot 6 = - 15$ ; короткая — $8 - 23 = - 15$ . Все действия определены для любого действительного $x$ , поэтому дополнительные ограничения здесь не появляются. Порядок работы помогает избежать ошибок: сначала раскрыть скобки вместе со знаками, затем объединить действительно подобные слагаемые.

В выражении $5 x - (2 x - 7)$ какое число получится после раскрытия скобок: $3 x - 7$ или $3 x + 7$ ? Правильна вторая запись, поскольку вычитается всё $2 x - 7$ . Подстановка $x = 0$ сразу выявляет неверный вариант: исходное выражение равно 7.