Одночлены и многочлены. Действия с многочленами

Запись $2 x^{2} - 3 x + 5$ содержит три слагаемых с разными буквенными частями. Чтобы складывать и умножать такие выражения, нужно различать отдельные члены и их сумму. Предварительно нужны приведение подобных слагаемых и натуральная степень.

Как устроен одночлен

Одночлен — произведение чисел, переменных и их натуральных степеней. Одночлен записан в стандартном виде, если он содержит один числовой множитель, стоящий на первом месте, и степени различных переменных. Этот числовой множитель называют коэффициентом одночлена.

Например, $(- 2) x \cdot 3 x^{2} y = - 6 x^{3} y$ — стандартный вид одночлена. Перемножили числовые множители и собрали одинаковые переменные, используя свойства степеней. Само число также считается одночленом. Переменная в знаменателе, например в $\frac{1}{x}$ , в школьное определение одночлена не входит.

Степенью ненулевого одночлена называется сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Степень ненулевого числового одночлена равна нулю.

Перед определением степени одночлен приводят к стандартному виду. Если показатель степени переменной не записан, он равен 1: у $- 6 x^{3} y$ степень равна $3 + 1 = 4$ . Коэффициенты $x$ и $- x$ равны соответственно 1 и $- 1$ ; множитель 1 обычно не пишут.

В одночлене -6x³y⁴ отдельно обозначены коэффициент -6 и показатели 3 и 4; степень равна 7. — Рис. 1. Коэффициент не входит в сумму показателей, определяющую степень.

У $- 6 x^{3} y^{4}$ коэффициент $- 6$ , а степень $3 + 4 = 7$ . Подстановка $x = 0$ даёт нулевое значение, но не меняет степень самого ненулевого одночлена. Для нулевого одночлена степень в этой статье не определяем: после умножения на нуль буквенная часть не задаёт однозначную запись.

От членов к многочлену

Многочлен — сумма одночленов. Многочлен записан в стандартном виде, если все его члены — одночлены стандартного вида и среди них нет подобных. Степенью ненулевого многочлена называется наибольшая из степеней ненулевых одночленов, входящих в его стандартный вид.

Для $4 x^{2} + 3 x - x^{2} - 7$ стандартный вид — $3 x^{2} + 3 x - 7$ , степень равна 2. Сначала обязательно приводим подобные: $x^{2} - x^{2} + 5 = 5$ имеет степень 0, хотя исходная запись содержала квадраты. Степень нулевого многочлена здесь также не задаём.

При сложении многочленов объединяем их члены и приводим подобные. Вычитание означает прибавление противоположного многочлена, поэтому меняются знаки каждого его члена. Например, $(2 x^{2} + x) - (x^{2} - 3 x + 4) = x^{2} + 4 x - 4$ .

Умножение распределяется по всем членам

При умножении одночленов умножаем коэффициенты и складываем показатели одинаковых переменных: $(- 2 x^{2} y) (3 x y^{3}) = - 6 x^{3} y^{4}$ . При умножении одночлена на многочлен каждый член получает этот множитель: $2 x (x^{2} - 3 x + 1) = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$ .

Для произведения двух многочленов распределение применяется дважды: каждый член первого умножается на каждый член второго. В $(x + 2) (x - 3)$ возникают четыре произведения, а не два.

Таблица произведений членов x и 2 на x и -3 содержит x², -3x, 2x и -6; два средних члена объединяются в -x. — Рис. 2. Таблица помогает учесть каждую пару членов и сохранить их знаки.

Обоснование можно записать через последовательное раскрытие скобок:

(x + 2) (x - 3) = x (x - 3) + 2 (x - 3) = x^{2} - 3 x + 2 x - 6 = x^{2} - x - 6.

При $x = 4$ исходное произведение равно $6 \cdot 1 = 6$ , а результат — $16 - 4 - 6 = 6$ . Если оставить только $x^{2} - 6$ , проверка даст 10: пропущены перекрёстные произведения.

Как проверять степень результата

Для ненулевых многочленов от одной переменной степень произведения равна сумме степеней множителей: старшие члены перемножаются и имеют ненулевой коэффициент, а остальные пары дают меньшие степени. У $(x + 2) (x - 3)$ степени множителей равны 1 и 1, результата — 2. При сложении такого правила нет: старшие члены могут взаимно уничтожиться.

Например, $(x^{2} + 1) + (- x^{2} + 3 x) = 3 x + 1$ имеет степень 1, хотя каждое слагаемое-многочлен имело степень 2. Это полезная проверка: степень определяют по итоговой записи, а не по самому заметному символу до преобразования.