Квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов

Если сторону квадрата увеличить с $a$ до $a + b$ , появится не только маленький квадрат площади $b^{2}$ , но и две полосы. Их площади объясняют, почему квадрат суммы нельзя получать простым сложением квадратов. Для полного доказательства нужны действия с многочленами.

Квадрат суммы содержит четыре части

Возьмём положительные $a$ и $b$ . Квадрат стороны $a + b$ разделим линиями на квадрат $a \times a$ , два прямоугольника $a \times b$ и квадрат $b \times b$ . Площади складываются: получаем $a^{2} + ab + ab + b^{2}$ . Два прямоугольника одинаковой площади дают член $2 ab$ .

Квадрат стороны a + b разбит на квадрат a², два прямоугольника ab и квадрат b². — Рис. 1. Два перекрёстных произведения соответствуют двум разным прямоугольникам.

Длина на рисунке не может быть отрицательной, поэтому модель сама по себе охватывает лишь положительные $a, b$ . Алгебраическое доказательство снимает это ограничение: $(a + b) (a + b) = a^{2} + ab + ba + b^{2}$ , а $ab = ba$ . Распределительное свойство верно для всех действительных чисел, значит, верно и полученное тождество.

Квадрат суммы двух чисел равен сумме их квадратов и удвоенного произведения этих чисел.

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} .

Например, $10 1^{2} = (100 + 1)^{2} = 10000 + 200 + 1 = 10201$ . Ошибочный расчёт $10 0^{2} + 1^{2}$ теряет 200. Вообще равенство $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ возможно только при $ab = 0$ , а не при произвольных слагаемых.

Квадрат разности и два снятых края

Пусть $a > b > 0$ . Из квадрата стороны $a$ уберём правую и нижнюю полосы шириной $b$ . Каждая имеет площадь $ab$ , но угловой квадрат $b^{2}$ попадает в обе полосы. Его вычли дважды; чтобы оставить правильную площадь, нужно один раз прибавить обратно.

Квадрат стороны a с двумя полосами шириной b: их общий угол b² отмечен штрихами, оставшийся квадрат имеет сторону a - b. — Рис. 2. Общий угол двух вычитаемых полос объясняет знак плюс перед $b^{2}$ .

Тождество для всех действительных $a, b$ доказываем раскрытием $(a - b) (a - b)$ : получаем $a^{2} - ab - ba + b^{2}$ . Ещё один способ — подставить $- b$ вместо $b$ в доказанную формулу квадрата суммы. Оба рассуждения дают один результат.

Квадрат разности двух чисел равен сумме их квадратов без удвоенного произведения этих чисел.

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} .

В $(2 x - 3)^{2}$ роль $a$ играет весь член $2 x$ . Поэтому $(2 x)^{2} = 4 x^{2}$ , удвоенное произведение равно $2 \cdot 2 x \cdot 3 = 12 x$ , а $3^{2} = 9$ . Получаем $4 x^{2} - 12 x + 9$ . При $x = 1$ исходная запись равна 1, и итог даёт $4 - 12 + 9 = 1$ .

Разность квадратов сворачивается в произведение

Раскроем $(a - b) (a + b) = a^{2} + ab - ab - b^{2}$ . Средние члены уничтожаются, остаётся $a^{2} - b^{2}$ . Это доказательство не требует предположений о знаках чисел.

Разность квадратов двух чисел равна произведению их разности и суммы.

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) .

Из квадрата стороны a удалён угол b²; две оставшиеся части переставлены в прямоугольник со сторонами a - b и a + b. — Рис. 3. При $a > b > 0$ перестановка частей показывает ту же формулу через площадь.

Например, $52 \cdot 48 = (50 + 2) (50 - 2) = 5 0^{2} - 2^{2} = 2496$ . Здесь удобнее перейти от произведения к разности квадратов. Для $9 x^{2} - 16$ удобен обратный переход: $(3 x)^{2} - 4^{2} = (3 x - 4) (3 x + 4)$ .

Как узнать структуру

Формулы работают и тогда, когда вместо $a, b$ стоят выражения. Для $(x + 2)^{2}$ подставляем $a = x$ , $b = 2$ и получаем $x^{2} + 4 x + 4$ . Для $x^{2} + 4$ формула разности квадратов неприменима: знак между квадратами другой. Например, $(x - 2) (x + 2)$ даёт $x^{2} - 4$ , а не $x^{2} + 4$ .

Перед применением формулы назовите два выражения, чьи квадраты или сумма видны в записи. Это позволяет не перепутать $(a - b)^{2}$ и $a^{2} - b^{2}$ : при $a = 5$ , $b = 2$ они равны 9 и 21. Похожие символы скрывают разные действия.