Разложение на множители: общий множитель, группировка и формулы

Выражение $6 x^{2} - 9 x$ можно читать как разность двух членов или как произведение $3 x (2 x - 3)$ . Во втором виде виден общий множитель, и дальнейший расчёт часто становится короче. Разложение использует раскрытие скобок и формулы сокращённого умножения в обратную сторону.

Общий множитель выносим целиком

Разложить многочлен на множители — представить его в виде произведения нескольких многочленов, тождественно равного исходному.

Распределительное свойство $k a + k b = k (a + b)$ объясняет первый приём: найти общий множитель всех членов и вынести за скобки. Для $6 x^{2} - 9 x$ общий числовой множитель равен 3, общий буквенный — $x$ . После вынесения $3 x$ внутри остаются $2 x$ и $- 3$ :

6 x^{2} - 9 x = 3 x (2 x - 3) .

Мы не делим всё выражение на значение $3 x$ и не исключаем $x = 0$ : это тождество, верное и при нуле. Содержимое скобок определяем по структуре членов, а результат проверяем умножением. Для $5 x^{2} + 5 x$ получаем $5 x (x + 1)$ ; последний член даёт 1, а не исчезает.

Прямоугольники площадей 3x·2x и 3x·3 имеют общую высоту 3x; их разность при x больше 1,5 образует прямоугольник шириной 2x - 3. — Рис. 1. При положительных длинах общая сторона показывает общий множитель; алгебраическое равенство действует для всех $x$ .

Группировка создаёт общий множитель

Если общего множителя всех членов нет, он может появиться после группировки. В $a x + a y + b x + b y$ объединяем первые два и последние два члена. Получаем $a (x + y) + b (x + y)$ : теперь общий множитель — целая скобка $x + y$ .

a x + a y + b x + b y = (a + b) (x + y) .

Четыре члена ax, ay, bx и by сначала соединены попарно, затем две одинаковые скобки x + y вынесены в общий множитель. — Рис. 2. Цель группировки — получить одинаковые множители в нескольких группах.

Знаки тоже входят в группу. Например, $x^{2} - 3 x - 2 x + 6 = x (x - 3) - 2 (x - 3) = (x - 2) (x - 3)$ . Если во второй группе вынести $- 2$ , внутри получится $x - 3$ , потому что $(- 2) \cdot (- 3) = 6$ . Вынесение только положительного 2 скроет одинаковую скобку.

Формулы узнаём по полному рисунку членов

Для $x^{2} - 25$ используем разность квадратов: $(x - 5) (x + 5)$ . Для $x^{2} + 6 x + 9$ видим квадрат суммы: $x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = (x + 3)^{2}$ . В обоих случаях сравниваем все члены, включая знак и коэффициент среднего произведения.

Число 9 само по себе не делает $x^{2} + 9$ квадратом суммы: отсутствует член $6 x$ . Не работает здесь и разность квадратов: $(x - 3) (x + 3) = x^{2} - 9$ . Это контрпример к попытке применять формулу по внешнему сходству двух квадратов.

Несколько приёмов в одном примере

Разложим $x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18$ . Объединяем первые два и последние два члена: $x^{2} (x + 2) - 9 (x + 2)$ . Выносим общую скобку, затем используем разность квадратов:

x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 = (x + 2) (x^{2} - 9) = (x + 2) (x - 3) (x + 3) .

Проверим обратным действием. Два последних множителя дают $x^{2} - 9$ , а умножение на $x + 2$ возвращает $x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18$ . При $x = 1$ обе формы равны $- 24$ . Обратное раскрытие доказывает тождественность результата; одна числовая подстановка только дополняет проверку.

В 7 классе достаточно освоить общий множитель, группировку и три доказанные формулы. В 8 классе они понадобятся для сокращения алгебраических дробей и работы с квадратным трёхчленом. Не всякий многочлен можно разложить этими приёмами на более простые вещественные множители; отсутствие подходящего приёма не разрешает придумывать неверное равенство.