Алгебраические дроби: сокращение, действия и ограничения

Для обычной дроби равные значения получают умножением числителя и знаменателя на одно ненулевое число. В алгебраической дроби множитель может содержать переменную, поэтому условие «ненулевой» приходится проверять для каждого её значения. Нужны ОДЗ, разложение на множители и действия с обыкновенными дробями.

Дробь с многочленами

Алгебраическая дробь — дробь, числитель которой является многочленом, а знаменатель — ненулевым многочленом. Допустимы только значения переменных, при которых знаменатель не равен нулю.

Такие дроби также называют рациональными. Ненулевой многочлен не равен нулю тождественно, хотя при отдельных значениях переменных может обращаться в нуль. Например, $x - 2$ — ненулевой многочлен, но при $x = 2$ его значение равно нулю. Запись $\frac{x + 1}{x - x}$ не является алгебраической дробью: её знаменатель тождественно равен нулю.

Например, $\frac{x + 1}{x - 2}$ определена при $x \neq = 2$ . Её значение может быть нулём: при $x = - 1$ числитель равен нулю, а знаменатель равен $- 3$ . Для нулевого значения дроби необходимы оба условия: нулевой числитель и ненулевой знаменатель.

Основное свойство дроби имеет прежнее обоснование. При $B \neq = 0$ и $C \neq = 0$ умножение числителя и знаменателя на $C$ сохраняет частное:

\frac{A}{B} = \frac{A C}{B C} .

Здесь $A, B, C$ могут быть выражениями. При сокращении в обратную сторону сохраняем все ограничения исходной записи. Умножение на выражение, которое обращается в нуль, тоже нельзя выполнять без условия $C \neq = 0$ : новая дробь иначе потеряет смысл.

Сокращаются множители

Рассмотрим $\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} - 3 x}$ . Знаменатель $x (x - 3)$ исключает 0 и 3. Разложим числитель: $(x - 3) (x + 3)$ . На исходной ОДЗ общий множитель $x - 3$ ненулевой, поэтому

\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} - 3 x} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x ( x - 3 )} = \frac{x + 3}{x}, x \neq = 0, x \neq = 3.

Общий множитель x - 3 выделен в числителе и знаменателе дроби; после сокращения остаётся (x + 3)/x с запретами x = 0 и x = 3. — Рис. 1. Сокращённый множитель исчезает из записи, но его нули остаются запрещёнными.

При $x = 6$ исходная дробь равна $\frac{27}{18} = \frac{3}{2}$ , как и $\frac{9}{6}$ . При $x = 3$ короткая дробь дала бы 2, но исходная превращается в $\frac{0}{0}$ . Слагаемые в $\frac{x + 3}{x}$ уже не сокращаются: числитель не является произведением с общим множителем $x$ .

Сложение, вычитание и умножение

Как и обычные дроби, алгебраические складываем после приведения к общему знаменателю. Для $\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1}$ исходные ограничения — $x \neq = 0, - 1$ . Общий знаменатель $x (x + 1)$ , дополнительные множители — $x + 1$ и $x$ :

\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1} = \frac{2 ( x + 1 ) + 3 x}{x ( x + 1 )} = \frac{5 x + 2}{x ( x + 1 )} .

При вычитании второе выражение в числителе берём со знаком минус целиком. Например, $\frac{x + 2}{x - 1} - \frac{2 x - 3}{x - 1} = \frac{x + 2 - ( 2 x - 3 )}{x - 1} = \frac{5 - x}{x - 1}$ при $x \neq = 1$ . Скобки предотвращают ошибку со знаком перед 3.

При умножении перемножаем числители и знаменатели, предварительно раскладывая их на множители. Например, $\frac{x ^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1} = x - 1$ при $x \neq = 0, - 1$ . Даже если в результате знаменатель исчез, оба ограничения сохраняются.

Делитель должен иметь ненулевое значение

Деление заменяем умножением на обратную дробь. Но исходный делитель должен быть определён и не равен нулю: для дроби $\frac{x - 2}{x + 1}$ это условия $x \neq = - 1$ и $x \neq = 2$ . Второе происходит от числителя делителя.

Для деления x/(x + 1) на (x - 2)/(x + 1) сначала исключают -1 из-за знаменателей и 2 из-за нулевого делителя; после обращения получают x/(x - 2). — Рис. 2. Запрет нулевого делителя появляется до обращения дроби.

Получаем $\frac{x}{x + 1} : \frac{x - 2}{x + 1} = \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{x}{x - 2}$ при $x \neq = - 1, 2$ . При $x = 0$ ответ равен нулю, и это разрешено: делимое может быть нулём, делитель — нет. При $x = - 1$ итоговая короткая запись была бы определена, однако исходные дроби не существуют.

В сложном выражении выписывайте ограничения до преобразования и проверяйте их на каждом делении. Эта запись — часть результата, а не дополнительное замечание после вычислений.