Степень с натуральным показателем и её свойства

Каждый новый шаг удваивает число клеток: 2, 4, 8, 16. Четвёртый результат можно записать как $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ . Степень сокращает именно повторное умножение; для начала нужны умножение и порядок действий.

Основание и показатель в 5 классе

Степень числа $a$ с натуральным показателем $n$ — произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$ . Число $a$ называют основанием, число $n$ — показателем степени. При $n = 1$ полагают $a^{1} = a$ .

Так, $3^{4} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$ . Основание показывает, какое число повторяется, показатель — сколько раз оно входит множителем. Запись $3^{4}$ не равна $3 \cdot 4 = 12$ , где выполняется совсем другое действие. Натуральные показатели здесь — положительные целые числа: 1, 2, 3 и далее.

Четыре шага удвоения дают 2, 4, 8 и 16 клеток; под каждым рядом указаны показатели от 1 до 4. — Рис. 1. Один дополнительный множитель 2 удваивает прежний результат.

Вторую степень называют квадратом, третью — кубом. Эти названия связаны с площадью квадрата и объёмом куба с одинаковыми числовыми значениями сторон. Например, $5^{2} = 25$ , $5^{3} = 125$ . При любом натуральном $n$ имеем $1^{n} = 1$ и $0^{n} = 0$ .

Умножение степеней в 7 классе

Произведение $a^{m} \cdot a^{n}$ содержит сначала $m$ , затем ещё $n$ одинаковых множителей $a$ . Всего их $m + n$ , поэтому

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} .

Здесь $m, n$ натуральные, $a$ — любое действительное число. Например, $2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{7} = 128$ . Общим должно быть основание: из $2^{3} \cdot 5^{4}$ одну степень этим правилом получить нельзя. Складывать показатели при сложении тоже нельзя: $2^{3} + 2^{4} = 24$ , а $2^{7} = 128$ .

В степени $(a^{m})^{n}$ повторяются $n$ групп по $m$ множителей, значит, всего $mn$ множителей: $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ . Например, $(3^{2})^{3} = 3^{6} = 729$ . Умножение $a^{m} \cdot a^{n}$ и возведение $(a^{m})^{n}$ устроены по-разному: первое соединяет две группы, второе многократно повторяет группу.

Одинаковые множители при умножении двух степеней соединяются в одну цепочку; при возведении степени повторяются равные группы. — Рис. 2. Подсчёт множителей объясняет сумму или произведение показателей.

Степень произведения и частного

В $(ab)^{n}$ имеется $n$ пар $ab$ . По переместительному и сочетательному свойствам можно собрать все $a$ и все $b$ отдельно: $(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$ . Аналогично $(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$ при $b \neq = 0$ . Например, $(\frac{2}{3})^{3} = \frac{8}{27}$ .

При делении степеней одного ненулевого основания сокращаем одинаковые множители. Если $m > n$ , после сокращения остаётся $m - n$ множителей:

\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}, a \neq = 0, m > n .

Так, $5^{6} : 5^{2} = 5^{4} = 625$ . Для случая $m = n$ частное равно 1; запись через нулевой показатель определим в следующей статье. Если $m < n$ , натурального показателя для остатка уже недостаточно: понадобятся отрицательные показатели.

Скобки и знак основания

После изучения отрицательных чисел нужно различать $(- 3)^{2} = 9$ и $- 3^{2} = - 9$ . В первой записи основание — всё число $- 3$ , поэтому перемножаются два отрицательных множителя. Во второй квадрат относится к 3, а минус стоит перед результатом. При нечётном натуральном показателе отрицательное основание даёт отрицательный результат, при чётном — положительный.

Проверьте, почему $(- 2)^{3} = - 8$ , а $(- 2)^{4} = 16$ : в произведении пары отрицательных множителей дают положительные, а при нечётном количестве один отрицательный остаётся без пары. Это объяснение относится к натуральным показателям; переносить его на дробный показатель до определения новой операции нельзя.