Степень с целым показателем. Стандартная запись числа

В цепочке $2^{3} = 8$ , $2^{2} = 4$ , $2^{1} = 2$ уменьшение показателя на 1 делит результат на 2. Если продолжить правило, получатся 1, $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ и далее. Так определяют новые показатели, сохраняя свойства натуральных степеней; понадобится и взаимно обратное число.

Как продолжить цепочку показателей

Нулевая степень ненулевого числа равна единице. Степень ненулевого числа с отрицательным целым показателем равна числу, обратному его степени с противоположным показателем.

Для $a \neq = 0$ и натурального $n$ определения записывают так:

a^{0} = 1, a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}} .

Например, $2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}$ . Отрицательный показатель сообщает об обратном числе, а не о знаке результата. Поэтому $5^{- 2} = \frac{1}{25} > 0$ , тогда как $(- 5)^{- 3} = - \frac{1}{125}$ из-за отрицательного основания и нечётного показателя.

Значения степеней двойки от показателя 3 до -3; каждый переход на единицу влево по показателю делит значение на 2. — Рис. 1. Нулевой и отрицательные показатели продолжают одну последовательность операций.

Почему для ненулевого $a$ выбирают именно $a^{0} = 1$ ? Частное $a^{n} : a^{n}$ равно 1; если сохранить правило вычитания показателей, оно должно быть равно $a^{n - n} = a^{0}$ . При отрицательном показателе требование $a^{n} \cdot a^{- n} = a^{0} = 1$ определяет обратное число. Это определения согласованного продолжения операции, а не доказательство через «нуль множителей».

Нуль в основании допускается только при положительном целом показателе: $0^{n} = 0$ . Отрицательный показатель потребовал бы деления на нуль. Запись $0^{0}$ в этом курсе не определяем; правило $a^{0} = 1$ нельзя применять к ней.

Свойства с целыми показателями

При ненулевых основаниях правила сохраняются для любых целых $m, n$ :

a^{m} a^{n} = a^{m + n}, \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}, (a^{m})^{n} = a^{mn} .

Также $(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$ и $(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$ при $a, b \neq = 0$ . Условия здесь выбраны так, чтобы все записи были определены при любом целом показателе. Для отдельных положительных показателей нулевое основание можно рассматривать по прежнему определению.

Обоснование новых случаев сводится к действиям с обратными числами. Например, $a^{- p} a^{- q} = \frac{1}{a ^{p}} \cdot \frac{1}{a ^{q}} = \frac{1}{a ^{p + q}} = a^{- (p + q)}$ для натуральных $p, q$ . При разных знаках показателей одинаковые множители сокращаются, а оставшиеся оказываются в числителе или знаменателе. Так работает тот же подсчёт множителей, что и раньше.

Разберём $\frac{3 ^{- 2} \cdot 3 ^{5}}{3 ^{1}}$ . Складываем показатели в числителе и вычитаем показатель знаменателя: $3^{- 2 + 5 - 1} = 3^{2} = 9$ . Проверка по определению даёт $\frac{( 1/9 ) \cdot 243}{3} = 9$ .

Степени десяти и стандартная запись

Десятичные разряды связаны с умножением и делением на 10. Запись $1 0^{- 4} = 0, 0001$ означает четыре деления единицы на 10. Очень малое число удобнее представить как произведение числа обычного размера и такой степени.

Стандартная запись положительного числа имеет вид $c \cdot 1 0^{k}$ , где $1 \leq c < 10$ , а $k$ — целое число. Для отрицательного числа знак минус ставят перед стандартной записью его модуля.

Например, $720000 = 7, 2 \cdot 1 0^{5}$ , а $0, 00072 = 7, 2 \cdot 1 0^{- 4}$ . В обоих случаях коэффициент находится между 1 и 10. Запись $72 \cdot 1 0^{- 5}$ тоже равна второму числу, но не является стандартной: коэффициент 72 выходит за указанную границу. Нуль отдельно записывают как 0, без нормированного коэффициента.

Числа 720000 и 0,00072 имеют одинаковые значащие цифры 7 и 2; перенос запятой компенсируется степенями 10⁵ и 10⁻⁴. — Рис. 2. Степень десяти возвращает числу величину после переноса запятой.

Вычисление с последующей нормировкой

В произведении $(6 \cdot 1 0^{5}) (3 \cdot 1 0^{- 2})$ отдельно умножаем коэффициенты и степени: $18 \cdot 1 0^{3}$ . Коэффициент слишком велик, поэтому $18 = 1, 8 \cdot 10$ и результат равен $1, 8 \cdot 1 0^{4}$ . Обычная запись даёт $600000 \cdot 0, 03 = 18000$ — тот же результат.

Почему отрицательный показатель часто соответствует малому числу, но не гарантирует это для всякого основания? Для $1 0^{- 3} = 0, 001$ основание больше 1. Однако $(\frac{1}{2})^{- 3} = 8$ : обращение степени основания меньше 1 увеличивает результат. Знак показателя описывает операцию, а величину результата определяет также основание.