Арифметический квадратный корень и его свойства

Квадрат имеет площадь 25 квадратных единиц. Какова длина его стороны? Нужно найти неотрицательное число, квадрат которого равен 25: это 5. Обратный вопрос к возведению в квадрат вводит арифметический корень; полезны также модуль и действительные числа.

Почему знак корня выбирает одно число

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа $a$ — неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Его обозначают $\sqrt{a}$.

Из определения следует $\sqrt{25}=5$, а не $\pm 5$. Число $-5$ тоже имеет квадрат 25, но оно отрицательно и не является арифметическим корнем. Если отдельно требуется найти все числа $x$, для которых $x^2=25$, ответов два: 5 и $-5$. Значение выражения $\sqrt{25}$ и решение такого уравнения — разные задачи.

Для $a=0$ корень равен 0. При $a<0$ действительного квадратного корня нет: квадрат действительного числа неотрицателен. Существование корня для каждого $a\ge 0$ используем как свойство действительных чисел; строгое построение действительного числа выходит за рамки этой статьи. Единственность объяснить можно: если $0\le u<v$, то $v^2-u^2=(v-u)(v+u)>0$, поэтому разные неотрицательные числа не имеют одинаковых квадратов.

Корень из квадрата и модуль

Числа 4 и $-4$ при возведении в квадрат дают 16, а $\sqrt{16}=4$. Извлечение арифметического корня не восстанавливает потерянный знак. Верная формула для любого действительного $a$ имеет вид

$$\sqrt{a^2}=|a|.$$

Доказательство следует из определения: $|a|\ge 0$ и $|a{|}^2=a^2$. Значит, именно $|a|$ является единственным неотрицательным корнем из $a^2$. При $a=-7$ получаем $\sqrt{(-7{)}^2}=7$, а не $-7$.

Произведение и частное под корнем

Для $a,b\ge 0$ произведение $\sqrt{a}\sqrt{b}$ неотрицательно, а его квадрат равен $ab$. По единственности корня получаем первую формулу. Для частного дополнительно требуется $b>0$, чтобы не делить на нуль:

$$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b},\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.$$

У первой формулы условия $a,b\ge 0$, у второй — $a\ge 0,b>0$. Если $a=b=-1$, левая запись $\sqrt{ab}=1$ определена, а отдельные корни справа в действительных числах не существуют. Неотрицательность произведения сама по себе не разрешает разделять его на любые множители.

Для суммы похожего правила нет: $\sqrt{9+16}=5$, а $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$. При вычитании ошибка тоже возможна. Свойства произведения и частного доказывались через квадраты именно этих операций; подменять их сложением нельзя.

Упрощаем выражение с корнями

Из $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$ и $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ следует $\sqrt{72}-\sqrt{8}=4\sqrt{2}$. Мы вынесли полный квадрат, затем привели одинаковые слагаемые с $\sqrt{2}$. Корни $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$ таким способом не складываются в $\sqrt{5}$.

Для переменной $\sqrt{18x^2}=3|x|\sqrt{2}$ при любом действительном $x$. Если известно $x\ge 0$, модуль можно заменить на $x$; если $x<0$, он равен $-x$. Условие о знаке нельзя молча предполагать.

Иногда удобно убрать корень из знаменателя, умножая числитель и знаменатель на одно ненулевое выражение: $\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$. Если знаменатель содержит разность, используем разность квадратов: $\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$. Здесь исходный знаменатель и дополнительный множитель ненулевые.

Точное значение и приближение

Запись $\sqrt{2}$ обозначает точное число. Поскольку $1,4^2=1,96<2<2,25=1,5^2$, имеем $1,4<\sqrt{2}<1,5$. Калькулятор даёт более точное десятичное приближение, например $\sqrt{2}\approx 1,4142$, но конечная десятичная запись не становится точным равенством.

Каков знак $\sqrt{(x-3{)}^2}$ при $x=1$? Значение равно $|1-3|=2$. Ответ $x-3=-2$ нарушил бы главный признак арифметического корня — неотрицательность.