Уравнения, решаемые разложением на множители и заменой переменной

Уравнение $x (x - 2) (x + 2) = 0$ содержит куб после раскрытия скобок, но решается проще в форме произведения. Достаточно понять, когда один из множителей равен нулю. В других уравнениях повторяется целое выражение, например $x^{2}$ , и его удобно временно обозначить новой буквой. Потребуются разложение на множители и разложение квадратного трёхчлена.

Нулевое произведение

Произведение действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен нулю.

Если один множитель нулевой, произведение нулевое по свойствам умножения. Если произведение $A B$ равно нулю и $A \neq = 0$ , деление на $A$ даёт $B = 0$ . Это доказывает обратное направление; для нескольких множителей рассуждение повторяют. При применении к выражениям все множители должны быть определены на рассматриваемой области.

Поэтому $x (x - 2) (x + 2) = 0$ равносильно требованию $x = 0$ или $x - 2 = 0$ или $x + 2 = 0$ . Корни — $0$ , $2$ , $- 2$ . Различные ветви объединяют, поскольку для нулевого произведения достаточно любой одной. Требовать одновременного равенства нулю всех множителей было бы ошибкой.

Нулевое произведение x(x-2)(x+2) разбивается на три альтернативы с корнями нуль, два и минус два. — Рис. 1. Каждый нулевой множитель даёт свою ветвь решения; ответы ветвей объединяются.

Третья и четвёртая степени

В уравнении $x^{3} - 4 x = 0$ выносим $x$ и применяем разность квадратов: $x (x^{2} - 4) = x (x - 2) (x + 2) = 0$ . Получаем те же три корня. Делить сразу на $x$ нельзя: нуль был бы потерян. Разложение позволяет сохранить все случаи без отдельного подбора.

Уравнение $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ раскладывается как $(x^{2} - 1) (x^{2} - 4) = 0$ . Первое равенство даёт $x = \pm 1$ , второе — $x = \pm 2$ . Итак, корни $- 2$ , $- 1$ , $1$ , $2$ . Здесь не используется общая формула для уравнения четвёртой степени: специально устроенное выражение сведено к уже изученным уравнениям.

Разложение полезно только после приведения одной стороны к нулю. В $A B = 6$ нельзя объявить $A = 6$ или $B = 6$ : например, $A = 2$ , $B = 3$ дают то же произведение. Если справа ненулевое число, сначала строят нулевое выражение и ищут подходящее разложение, а не применяют правило вне его условия.

Биквадратное уравнение и замена

Биквадратным называется уравнение вида $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ , где $a$ , $b$ , $c$ — заданные числа и $a \neq = 0$ .

В нём нет нечётных степеней $x$ . Обозначим $t = x^{2}$ : тогда $x^{4} = t^{2}$ , а для действительного $x$ обязательно $t \geq 0$ . Решим $x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$ . После замены получаем $t^{2} - 10 t + 9 = 0$ , или $(t - 1) (t - 9) = 0$ . Значит, $t = 1$ или $t = 9$ .

Возвращаемся к исходной переменной: $x^{2} = 1$ даёт $x = - 1$ и $x = 1$ , а $x^{2} = 9$ — $x = - 3$ и $x = 3$ . Ответ состоит из четырёх чисел. Подстановка $x = \pm 1$ даёт $1 - 10 + 9 = 0$ , а $x = \pm 3$ — $81 - 90 + 9 = 0$ . Все преобразования на области $t \geq 0$ обратимы при полном возврате к $x$ .

Два значения t, равные одному и девяти, возвращаются к четырём значениям x: минус один, один, минус три и три. — Рис. 2. Ответ для новой переменной ещё не является ответом исходного уравнения.

Какие значения возвращаются к действительному числу

У положительного $t$ два действительных прообраза $x = \pm t$ . При $t = 0$ есть только $x = 0$ . Если $t < 0$ , действительных $x$ с $x^{2} = t$ нет. Например, у $x^{4} + x^{2} = 0$ вспомогательное уравнение $t (t + 1) = 0$ даёт $t = 0$ и $t = - 1$ , но исходное имеет только корень $0$ .

Биквадратное уравнение потому может иметь не только четыре корня. У $x^{4} - 1 = 0$ замена даёт $t = 1$ и $t = - 1$ , и остаются два корня $\pm 1$ . У $x^{4} + 1 = 0$ корней нет, поскольку $x^{4} \geq 0$ . Проверка допустимых значений новой переменной — часть решения, а не необязательное действие после получения ответа.