Дробно-рациональные уравнения и проверка ограничений

В уравнении $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = 4$ удобно сократить дробь и получить $x + 2 = 4$ . Тогда возникает кандидат $x = 2$ , но именно при нём исходный знаменатель нулевой. Уравнение не имеет корней. Этот пример показывает, почему ограничения записывают до преобразований. Нужны действия с алгебраическими дробями и решение квадратных уравнений.

Область, где уравнение имеет смысл

Дробно-рациональным называется уравнение, обе части которого являются рациональными выражениями и в котором переменная входит хотя бы в один знаменатель.

Рациональные выражения строятся из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения и деления. Допустимые значения определяются всеми исходными знаменателями: каждый должен быть отличен от нуля. Если в знаменателе стоит $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ , исключаем и $1$ , и $- 1$ .

Сокращение не отменяет исходные ограничения. Для начального примера получаем равносильную запись только на области $x \neq = 2$ : $x + 2 = 4$ , $x \neq = 2$ . Единственный кандидат $2$ запрещён, поэтому ответ — отсутствие корней. Если забыть ограничение, мы заменим исходное уравнение другим, определённым на большей области.

Кандидат x=2, полученный после сокращения дроби, исключается из-за нулевого исходного знаменателя. — Рис. 1. Корни преобразованного уравнения проверяют по исходным знаменателям.

Общий знаменатель и обратимость

Для уравнения $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} = \frac{3}{4}$ область поиска задаётся $x \neq = 1$ , $x \neq = - 1$ . Общий знаменатель — $4 (x - 1) (x + 1)$ . Он не равен нулю на этой области, поэтому умножение обеих частей на него обратимо и даёт:

4 (x + 1) + 4 (x - 1) = 3 (x - 1) (x + 1) .

Получаем $8 x = 3 x^{2} - 3$ , то есть $3 x^{2} - 8 x - 3 = 0$ . Дискриминант $D = 64 + 36 = 100$ , поэтому $x = (8 \pm 10) /6$ . Кандидаты — $3$ и $- 1/3$ ; ни один не запрещён. При $x = 3$ исходная сумма равна $1/2 + 1/4 = 3/4$ . При $x = - 1/3$ она равна $- 3/4 + 3/2 = 3/4$ .

Важно умножить каждое слагаемое, включая числовую правую часть. В строке после избавления от знаменателей нельзя просто убрать дробные черты: числители получают разные дополнительные множители. Переход через общий ненулевой знаменатель объясняет, откуда берётся каждый член нового уравнения.

Проверка и полнота ответа

Удобная последовательность состоит из четырёх действий: записать исходные ограничения, умножить на общий знаменатель на допустимой области, решить полученное уравнение, отобрать и проверить найденные значения. Если преобразования были равносильными на этой области, допустимые корни полученного уравнения исчерпывают ответ. Проверка исходных частей защищает от ошибок раскрытия скобок и знаков.

Корень нулевого числителя подходит только при ненулевом знаменателе. Например, $\frac{x - 2}{x - 2} = 0$ не имеет корней: при $x \neq = 2$ левая часть равна $1$ , а при $x = 2$ не определена. Если умножить и забыть ограничение, получится ложный кандидат $2$ . Для сложной дроби учитывают также запрет нуля в выражении, на которое делят, ещё до её упрощения.

Уравнение времени движения

Между двумя городами $120$ км. При увеличении скорости на $20$ км/ч время пути сокращается на $1$ час. Пусть $v$ — числовое значение исходной скорости в км/ч, тогда $v > 0$ . Время равно расстоянию, делённому на скорость, поэтому условие записывается как $120/ v - 120/ (v + 20) = 1$ .

Одинаковый путь сто двадцать километров занимает три часа при сорока километрах в час и два часа при шестидесяти. — Рис. 2. Сравнивают времена прохождения одного и того же расстояния.

На области $v > 0$ оба знаменателя ненулевые. Умножение на $v (v + 20)$ даёт $120 (v + 20) - 120 v = v (v + 20)$ , откуда $v^{2} + 20 v - 2400 = 0$ . Корни равны $40$ и $- 60$ ; отрицательное число не подходит смыслу скорости в этой модели. При $v = 40$ времена $120/40 = 3$ часа и $120/60 = 2$ часа, их разность действительно $1$ час. Ответ: исходная скорость $40$ км/ч.