Системы с уравнением второй степени. Пересечение графиков

Равенства $y = x^{2}$ и $y = 2 x + 3$ задают разные связи между двумя числами. Решение системы должно выполнять обе: квадрат первого числа должен совпасть со вторым, и одновременно второе должно быть на три больше удвоенного первого. Такое совпадение может произойти в нескольких точках. Здесь нужны решение системы и квадратное уравнение.

Уравнение второй степени с двумя переменными

Уравнением второй степени с двумя переменными называется уравнение вида $a x^{2} + b x y + c y^{2} + d x + ey + f = 0$ , где коэффициенты — заданные числа и хотя бы одно из чисел $a$ , $b$ , $c$ отлично от нуля.

Сумма показателей степеней переменных в каждом члене не превосходит двух. Поэтому $x^{2} + y^{2} = 25$ и $y = x^{2}$ — уравнения второй степени, а $x^{2} y = 1$ — уже третьей. Как и для линейной системы, ответом служат пары $(x; y)$ , удовлетворяющие каждому исходному уравнению. Однако общей пары может быть больше одной.

График $y = x^{2}$ — парабола: её точки получают, выбирая $x$ и вычисляя квадрат. Например, $(- 2; 4)$ , $(0; 0)$ и $(2; 4)$ лежат на ней. График $x^{2} + y^{2} = 25$ — окружность радиуса $5$ с центром в начале координат: по теореме Пифагора квадрат расстояния до начала равен $x^{2} + y^{2}$ . Этот геометрический смысл помогает представить ответ, а вычисление подтверждает координаты.

Подстановка в квадратное условие

Решим систему $y = x^{2}$ , $y = 2 x + 3$ . Во втором равенстве уже выражен $y$ , поэтому общая пара должна удовлетворять $x^{2} = 2 x + 3$ . Приводим к нулю и раскладываем: $x^{2} - 2 x - 3 = (x - 3) (x + 1) = 0$ . Отсюда $x = 3$ или $x = - 1$ .

Для каждого значения восстанавливаем $y$ . При $x = 3$ получаем $y = 9$ , при $x = - 1$ — $y = 1$ . Проверка даёт $9 = 3^{2} = 2 \cdot 3 + 3$ и $1 = (- 1)^{2} = 2 \cdot (- 1) + 3$ . Ответ — две пары $(3; 9)$ и $(- 1; 1)$ , а не просто два значения $x$ .

Парабола y=x² и прямая y=2x+3 пересекаются в точках (-1;1) и (3;9). — Рис. 1. Каждому корню полученного квадратного уравнения соответствует своя общая точка графиков.

Подстановка здесь равносильна исходной системе, если вместе с уравнением для $x$ сохраняем $y = 2 x + 3$ . Любая общая пара приводит к найденному квадратному уравнению; обратно, каждый его корень вместе с указанным $y$ выполняет оба условия. Это обосновывает, почему другие пары не пропущены.

Прямая и окружность

Решим систему $x^{2} + y^{2} = 25$ , $x + y = 7$ . Из линейного уравнения $y = 7 - x$ . Подставляем: $x^{2} + (7 - x)^{2} = 25$ , то есть $2 x^{2} - 14 x + 24 = 0$ . После деления на $2$ получаем $(x - 3) (x - 4) = 0$ , поэтому $x = 3$ или $x = 4$ .

Соответствующие $y$ равны $4$ и $3$ . В обеих парах сумма равна $7$ , а сумма квадратов — $9 + 16 = 25$ . Ответ — $(3; 4)$ , $(4; 3)$ . Нельзя произвольно соединить найденные значения в пару $(3; 3)$ или $(4; 4)$ : порядок восстановления из сохранённого уравнения обязателен.

Окружность x²+y²=25 и прямая x+y=7 имеют две общие точки: (3;4) и (4;3). — Рис. 2. Два решения системы соответствуют двум точкам пересечения прямой и окружности.

Число пересечений и точность рисунка

Для системы $y = x^{2}$ , $y = k$ число решений зависит от $k$ . При $k > 0$ имеем две пары $(k; k)$ и $(- k; k)$ , при $k = 0$ — одну $(0; 0)$ , при $k < 0$ — ни одной. Здесь не нужно угадывать по рисунку: результат следует из неотрицательности квадрата и обоих знаков квадратного корня.

У прямой и параболы в рассмотренных случаях не больше двух общих точек, но это не правило для всех нелинейных систем. Система $x^{2} = 1$ , $y^{2} = 1$ имеет четыре пары $(\pm 1; \pm 1)$ при независимом выборе знаков. Если два уравнения задают одну и ту же кривую, общих точек может быть бесконечно много. Тип системы нужно анализировать по её условиям.

График, построенный с конечной точностью, помогает оценить число решений и заметить ошибку, но близкие пересечения могут быть незаметны. Точные координаты в примерах выше получены алгеброй и проверены подстановкой. Если ответ найден только приближённо, его записывают со знаком приближённого равенства и указанной точностью.