Иррациональные уравнения: возведение в степень и проверка

Уравнение $\sqrt{x+6}=x$ требует одновременно согласовать значение под корнем и знак правой части. Если просто возвести обе части в квадрат, получится два кандидата, но один не подойдёт. Для правильного отбора понадобятся корни чётной и нечётной степени, равносильность и квадратное уравнение.

Неизвестное под знаком корня

Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.

В этой теме рассматриваем действительные значения и главным образом квадратные корни. Для каждого квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Сам арифметический квадратный корень тоже неотрицателен. Эти два требования различны: первое определяет, существует ли левая часть, второе помогает сравнить её с правой.

Например, $\sqrt{x+6}=x$ определено при $x\ge -6$, но равенство дополнительно требует $x\ge 0$. Уравнение $\sqrt{x+6}=-2$ не имеет корней при любой допустимой подстановке: левая часть неотрицательна, правая отрицательна. Его можно исследовать ещё до возведения в квадрат.

Когда квадратирование обратимо

Для выражений $F(x)$ и $G(x)$ уравнение с квадратным корнем равносильно следующему набору условий на общей области определения этих выражений:

$$\sqrt{F(x)}=G(x)⟺\{\begin{array}{l}F(x)=G(x{)}^2,\\ G(x)\ge 0.\end{array}$$

В прямом направлении квадратирование даёт первое равенство, а неотрицательность корня — второе. Обратно, из $F=G^2$ следует $F\ge 0$; извлечение корня даёт $\sqrt{F}=|G|$, и условие $G\ge 0$ позволяет заменить $|G|$ на $G$. Именно здесь обосновывается восстановление исходной записи.

Если условие знака не добавлено, квадратирование даёт только следствие. Тогда все кандидаты нужно проверять в исходном уравнении. Исходная область определения при этом сохраняется: возведение в квадрат не делает допустимым отрицательное подкоренное выражение.

Полный пример с посторонним кандидатом

Для $\sqrt{x+6}=x$ после квадратирования получаем $x+6=x^2$, то есть $(x-3)(x+2)=0$. Кандидаты $3$ и $-2$ оба лежат в исходной области $x\ge -6$. Однако $-2$ нарушает необходимый знак правой части. Подстановка даёт $\sqrt{4}=2\ne -2$, поэтому он посторонний.

Для $x=3$ получаем $\sqrt{9}=3$, равенство верно. Ответ — единственный корень $3$. Все корни исходного уравнения удовлетворяют полученному квадратному, а оба его корня рассмотрены; значит, отбор не пропускает другого решения.

Если корней несколько

В $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}=3$ сначала записываем $x\ge 2$. Изолируем один корень: $\sqrt{x+1}=3-\sqrt{x-2}$. Правая часть должна быть неотрицательна, поэтому $\sqrt{x-2}\le 3$ и $x\le 11$. На области $2\le x\le 11$ обе части неотрицательны, и их квадраты равны тогда и только тогда, когда равны они сами.

После квадратирования имеем $x+1=9+x-2-6\sqrt{x-2}$, откуда $\sqrt{x-2}=1$. Следующее квадратирование обратимо, поскольку обе части неотрицательны: $x-2=1$, $x=3$. Исходная проверка даёт $\sqrt{4}+\sqrt{1}=2+1=3$. При возведении суммы или разности в квадрат обязательно учитывают удвоенное произведение; нельзя заменить $(A-B{)}^2$ на $A^2-B^2$.

Нечётная степень корня

Для нечётного корня знак может быть отрицательным. Уравнение $\sqrt[3]{2x-1}=-3$ определено для всех действительных $x$. Кубирование обеих частей обратимо: $2x-1=-27$, поэтому $x=-13$. Проверка даёт $\sqrt[3]{-27}=-3$.

Для действительных $u<v$ выполняется $u^3<v^3$: разность $v^3-u^3=(v-u)(v^2+uv+u^2)$ положительна. Поэтому равенство кубов означает равенство чисел. Для чётной степени этого свойства на всей прямой нет: $(-3{)}^2=3^2$. Нельзя переносить правило проверки знака квадратного корня на кубический без учёта чётности.