Простейшие иррациональные неравенства

Квадратный корень неотрицателен, поэтому сравнения $x + 2 < x$ и $x + 2 > x$ ведут себя по-разному при отрицательном $x$ . Одинаковое квадратирование не решает обе задачи. Понадобятся корни чётной и нечётной степени и квадратные неравенства.

Сначала существование, затем сравнение

Иррациональным называется неравенство, в котором переменная содержится под знаком корня.

Рассматриваем действительные значения. Для квадратного корня $F (x)$ нужно $F (x) \geq 0$ , а значение самого корня неотрицательно. Область определения правой части $G (x)$ тоже сохраняется. Например, у $x + 2$ область $x \geq - 2$ , но этот факт ничего не говорит о том, положителен ли $x$ в правой части сравнения.

На неотрицательных числах квадрат строго сохраняет порядок. Для $0 \leq u < v$ разность $v^{2} - u^{2} = (v - u) (v + u) > 0$ ; обратно, $u^{2} < v^{2}$ при $u, v \geq 0$ исключает $u \geq v$ . Поэтому квадратирование сравнения обратимо, когда обе части неотрицательны. На всей действительной прямой такого свойства у квадрата нет.

Когда корень меньше другой части

Если $F < G$ , то $G$ обязательно строго положительно. На общей области определения выражений получаем равносильные условия:

F (x) < G (x) ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ F (x) \geq 0, G (x) > 0, F (x) < G (x)^{2} .

В прямом направлении знак $G$ следует из неотрицательности корня, а последняя строка — из квадратирования. Обратно, первые две строки делают сравнение квадратов обратимым, поэтому восстанавливается исходное неравенство. Для знака $\leq$ нужно заменить $G > 0$ на $G \geq 0$ , а последнее сравнение на $F \leq G^{2}$ . Тогда случай $F = G = 0$ не потеряется.

Разберём $x + 2 < x$ . Требования $x \geq - 2$ и $x > 0$ вместе дают $x > 0$ . На этой области квадратирование обратимо: $x + 2 < x^{2}$ , то есть $(x - 2) (x + 1) > 0$ . Последнее неравенство даёт $x < - 1$ или $x > 2$ , но пересечение с $x > 0$ оставляет только $(2; + \infty)$ . В точке $2$ равенство, поэтому граница исключена.

Для корня меньше x нужны допустимость x не меньше минус двух, положительность x и сравнение квадратов; остаётся луч x больше двух. — Рис. 1. Отрицательный луч после квадратирования не удовлетворяет обязательному знаку правой части.

Проверка $x = 3$ даёт $5 < 3$ , поскольку $5 < 9$ и обе части положительны. Число $x = - 3/2$ удовлетворяет сравнению квадратов: $1/2 < 9/4$ , но исходное $1/2 < - 3/2$ неверно. Это конкретный контрпример к квадратированию без ограничения знака.

Когда корень больше другой части

Для $F > G$ отрицательная правая часть, наоборот, сразу даёт верное сравнение при допустимом корне. Если $G \geq 0$ , сравниваем квадраты. Обе возможности нужно соединить словом «или»:

F (x) > G (x) ⇕ {F (x) \geq 0, G (x) < 0 или {G (x) \geq 0, F (x) > G (x)^{2} .

Во второй ветви $F > G^{2}$ само обеспечивает $F > 0$ , поэтому отдельная строка $F \geq 0$ там избыточна. Обе ветви рассматриваются на общей области определения $F, G$ . Для сравнения $F \geq G$ удобно взять ветвь $F \geq 0, G \leq 0$ и ветвь $G > 0, F \geq G^{2}$ . При $G = 0$ достаточно допустимости корня.

В $x + 2 > x$ первая ветвь даёт $- 2 \leq x < 0$ . Во второй $x \geq 0$ и $x + 2 > x^{2}$ , то есть $- 1 < x < 2$ ; остаётся $0 \leq x < 2$ . Объединение даёт $[- 2; 2)$ . Левая граница включена, поскольку $0 > - 2$ ; правая исключена из-за равенства. Для $x + 2 \leq x$ ответ $[2; + \infty)$ , а для $x + 2 \geq x$ — $[- 2; 2]$ .

Сравнение корня с отрицательной правой частью выполняется сразу; при неотрицательной правой части необходимо сравнить квадраты. — Рис. 2. При замене знака сравнения меняется отбор ветвей, а не только последняя скобка.

Нечётный корень

Куб и кубический корень сохраняют порядок на всей действительной прямой. Для $u < v$ имеем $v^{3} - u^{3} = (v - u) (v^{2} + uv + u^{2}) > 0$ ; второй множитель положителен для различных $u, v$ . Поэтому $3 2 x - 1 < - 1$ равносильно $2 x - 1 < - 1$ , и ответ $x < 0$ . Отрицательная правая часть здесь не создаёт запрета. Условия квадратного корня нельзя переносить на нечётный: чётность определяет и область, и правила сравнения.