Координатная плоскость: точки, оси и масштаб

Чтобы назвать место на карте, обычно нужны два указания: положение вдоль одной линии и вдоль другой. На координатной плоскости эту роль выполняют два числа. Мы уже умеем находить число на координатной прямой; теперь добавим второе направление.

На рукописных перпендикулярных осях точка A расположена над отметкой 2 горизонтальной оси и на уровне отметки 1 вертикальной. — Рис. 1. Сначала откладываем горизонтальную координату, затем вертикальную.

Две оси и одно начало

Прямоугольная система координат на плоскости задаётся двумя перпендикулярными координатными прямыми с общим началом. Горизонтальная ось называется осью абсцисс, вертикальная — осью ординат.

Оси обозначают $O x$ и $O y$ , их общую точку — $O$ . Обычно положительное направление оси $O x$ выбирают вправо, оси $O y$ — вверх. На каждой оси отмечают единицу масштаба. Если используются другие направления или единицы, это должно быть явно показано на рисунке.

Через точку можно провести прямую, параллельную каждой оси. Они пересекут другую ось и укажут два числа. Благодаря перпендикулярности осей горизонтальное и вертикальное положения определяются независимо: движение вверх не меняет первую координату.

Порядок координат

Первая координата точки — её абсцисса $x$ , вторая — её ордината $y$ . Координаты записывают упорядоченной парой $(x; y)$ .

Построим точку $A (2; 1)$ . От начала отсчитываем две единицы вправо и одну вверх. Получается пересечение вертикальной линии через отметку $2$ и горизонтальной через отметку $1$ . Порядок действий можно поменять, но роли чисел остаются прежними: первая координата относится к горизонтальной оси.

Для точки $B (1; 2)$ потребуется одна единица вправо и две вверх. Это другое положение. Точка $C (- 2; 1)$ находится на той же высоте, что и $A$ , но слева от вертикальной оси. Чтобы прочитать координаты уже отмеченной точки, мысленно проводим её проекции на обе оси, а не считаем расстояние до ближайшего края рисунка.

Точки A(2;1), B(1;2) и C(-2;1) построены на одной сетке с одинаковым единичным масштабом. — Рис. 2. Перестановка координат меняет точку, а смена знака первой координаты переносит её на другую сторону оси $O y$ .

Четверти и точки на осях

Оси разделяют плоскость на четыре четверти. В первой обе координаты положительны. Во второй первая отрицательна, вторая положительна. В третьей обе отрицательны, в четвёртой первая положительна, вторая отрицательна. Нумерация начинается справа сверху и идёт против часовой стрелки.

Точка на оси не принадлежит ни одной четверти. У точки $(0; 3)$ абсцисса равна нулю: она лежит на оси $O y$ . У точки $(- 2; 0)$ нулевая ордината: она лежит на оси $O x$ . Начало $O (0; 0)$ принадлежит обеим осям. Ноль не следует считать положительным или отрицательным числом.

Масштаб важнее клеток

На школьном рисунке одна клетка часто означает одну единицу, но это лишь удобный выбор. Пусть по горизонтали одна клетка соответствует двум единицам, а по вертикали — одной. Тогда точка $(4; 2)$ расположена на две клетки вправо и две вверх. Её абсцисса всё равно равна $4$ , а не $2$ .

На осях показаны разные единицы на клетку: по горизонтали две единицы, по вертикали одна; точка имеет координаты (4;2). — Рис. 3. Одинаковое количество клеток не означает одинаковые координаты при разных масштабах.

Разный масштаб допустим при представлении данных, но по такому рисунку нельзя судить о длинах и углах без пересчёта. Даже если два отрезка выглядят одинаковыми, их числовые изменения могут различаться. Перед чтением любого графика проверяем направления осей, отметки и подписи величин.