Таблица, формула и график реальной зависимости

Пешеход идёт по прямому маршруту с постоянной скоростью $3$ км/ч. Как меняется пройденный путь? Одну и ту же зависимость можно описать словами, таблицей, формулой и графиком. Для рисунка понадобятся координаты точки, а связь пути со временем опирается на формулы величин.

Какие величины связаны

Время обозначим $t$ и будем измерять в часах, путь — $s$ в километрах. Отсчёт начинается в момент отправления, поэтому первоначальный путь равен нулю. За один час пешеход проходит $3$ км, за половину часа — $1, 5$ км. Условие постоянной скорости даёт правило:

s = 3 t .

Для этой задачи рассматриваем первые два часа движения. Время находится между $0$ и $2$ часами, включая границы. Отрицательное время и более поздние моменты в данную модель не входят. Формулу можно подставлять и при других числах, но её арифметическая вычислимость ещё не подтверждает применимость к этому маршруту.

От таблицы к графику

Вычислим несколько значений по правилу:

Время $t$ , ч	Путь $s$ , км
$0$	$0$
$0, 5$	$1, 5$
$1$	$3$
$1, 5$	$4, 5$
$2$	$6$

По горизонтальной оси откладываем время, по вертикальной — путь. Каждая строка даёт точку. В частности, строке с одним часом соответствует точка $(1; 3)$ . В этой модели время может принимать промежуточные значения, а скорость всё время одна. Поэтому график содержит весь отрезок между началом и точкой $(2; 6)$ , а не только пять табличных точек.

Таблица пяти значений пути и соответствующий отрезок графика s=3t на промежутке времени от нуля до двух часов. — Рис. 1. Таблица показывает отдельные значения, формула определяет зависимость на всём указанном промежутке.

Читаем в обоих направлениях

Найдём путь через $1, 5$ часа. От нужной отметки времени поднимаемся до графика и читаем вертикальную координату: $4, 5$ км. По формуле получается то же число. Теперь спросим, когда пройдено $4, 5$ км. От отметки пути идём горизонтально к графику, затем опускаемся к оси времени: $1, 5$ часа.

На графике зависимости точка связывает значение величины на горизонтальной оси со значением величины на вертикальной оси. Подписи осей и единицы измерения определяют смысл этой пары.

Почти горизонтальный участок графика пути означал бы небольшое изменение пути; строго горизонтальный — остановку. Убывание температуры на другом графике означало бы охлаждение, а не движение назад. Форма рисунка получает смысл только вместе с названиями величин.

Когда точки соединять нельзя

Если покупают одинаковые тетради по $40$ рублей, число тетрадей может быть только целым неотрицательным. Значения стоимости равны $0$ , $40$ , $80$ рублей и так далее. На графике этой зависимости отмечают отдельные точки. Промежуточная точка для половины тетради не описывает разрешённую покупку.

График стоимости тетрадей состоит из отдельных точек для целого числа тетрадей; промежутки между ними не закрашены. — Рис. 2. Ограничения величины определяют, какие точки принадлежат графику.

Есть и другое ограничение. Если температура измерена только в три момента, соединение точек отрезками — выбранное приближение, а не установленный факт о каждом промежуточном моменте. Между измерениями могла быть резкая перемена. Различаем наблюдённые данные, предположение о процессе и математическую модель, которую это предположение задаёт.