Графики квадрата, куба и квадратного корня

Площадь квадрата растёт как квадрат стороны, объём куба — как куб ребра, а сторону квадрата можно восстановить из площади с помощью корня. В задачах эти величины неотрицательны; абстрактные функции могут иметь более широкую область. Сопоставим их, опираясь на область и значения функции и арифметический квадратный корень.

Квадрат и симметрия

Функция $y = x^{2}$ определена при всех действительных аргументах. Её значения неотрицательны, а график называется параболой.

Для построения получаем точки $(0; 0)$ , $(1; 1)$ , $(- 1; 1)$ , $(2; 4)$ и $(- 2; 4)$ . Противоположные аргументы дают один квадрат, поэтому график симметричен относительно оси $O y$ . Нулевое значение достигается только в начале координат.

На неотрицательном луче функция возрастает. Для двух неотрицательных чисел, первое из которых меньше второго, имеем:

x_{2}^{2} - x_{1}^{2} = (x_{2} - x_{1}) (x_{2} + x_{1}) > 0.

Оба множителя положительны. На отрицательном луче при движении к нулю модуль уменьшается, а значит, уменьшается и квадрат. Поэтому на всей прямой функция не возрастает: при переходе от $- 2$ к $- 1$ значение падает с $4$ до $1$ . Любое неотрицательное значение достигается: для выбранного числа $y \geq 0$ можно взять аргумент $y$ , квадрат которого равен $y$ .

Куб и смена знака

Функция $y = x^{3}$ определена на всей действительной прямой, принимает все действительные значения и возрастает на всей прямой.

Её характерные точки — $(0; 0)$ , $(1; 1)$ , $(- 1; - 1)$ , $(2; 8)$ и $(- 2; - 8)$ . Куб сохраняет знак аргумента. Противоположные аргументы дают противоположные значения, поэтому график симметричен относительно начала координат.

Обоснуем возрастание, не ограничиваясь рисунком:

x_{2}^{3} - x_{1}^{3} x_{2}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{1}^{2} = (x_{2} - x_{1}) (x_{2}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{1}^{2}), = (x_{2} + \frac{x _{1}}{2})^{2} + \frac{3 x _{1}^{2}}{4} .

При разных аргументах второй множитель положителен: ноль возможен только когда оба аргумента нулевые. Первый множитель положителен при увеличении аргумента, значит, разность кубов положительна. Каждое действительное значение получается из его кубического корня; существование такого корня используется как свойство действительных чисел без отдельного доказательства здесь.

На двух соседних координатных плоскостях показаны парабола y=x² и график куба y=x³ с характерными точками и симметрией. — Рис. 1. Квадрат не различает знак аргумента, а куб различает.

Квадратный корень

Функция $y = x$ определена при $x \geq 0$ , принимает только неотрицательные значения и возрастает на своей области определения.

Сначала выбираем аргументы с удобными корнями: $0$ , $1$ , $4$ , $9$ . Получаем значения $0$ , $1$ , $2$ , $3$ . Точки графика лежат в первой четверти и в начале координат. Отрицательного аргумента у действительного квадратного корня нет.

Проверим возрастание. Если большему неотрицательному аргументу соответствовал бы меньший или равный корень, возведение этих неотрицательных корней в квадрат дало бы обратное сравнение аргументов. Это противоречие. Все неотрицательные значения достигаются: для выбранного $y \geq 0$ берём аргумент $y^{2}$ .

На общей плоскости неотрицательная половина параболы y=x² и график y=√x отражены относительно прямой y=x. — Рис. 2. Точка $(2; 4)$ на параболе соответствует точке $(4; 2)$ на графике корня.

Значение и уравнение

Найдём значение корня при аргументе $4$ : оно равно $2$ . Но уравнение $z^{2} = 4$ имеет два корня, $2$ и $- 2$ . Запись $4$ обозначает только неотрицательное число. Если нарисовать обе ветви решения уравнения $y^{2} = x$ , при положительном аргументе появятся два значения — это уже не график функции квадратного корня.

У функции квадрата также различаем направление задачи. Найти значение при $x = - 2$ легко: получаем $4$ . Найти все аргументы для значения $4$ — значит оставить обе точки, $- 2$ и $2$ . Эта разница поможет позже понять, почему обратное правило требует ограничения области.