Чётность, нечётность, периодичность и обратная функция

Симметрия помогает дорисовать график, повторение — продолжить его, а обратное правило меняет местами вход и выход. Это разные свойства, каждое со своим условием. Понадобятся область и значения, основные графики и монотонность.

Чётная и нечётная функция

Функция называется чётной, если её область симметрична относительно нуля и для каждого допустимого $x$ выполняется $f (- x) = f (x)$ . Она называется нечётной при такой же симметрии области и равенстве $f (- x) = - f (x)$ .

Для квадрата противоположные аргументы дают одинаковую высоту: функция чётная, график симметричен относительно оси $O y$ . Для куба меняется знак высоты: функция нечётная, график симметричен относительно начала координат. Эти геометрические свойства следуют из переходов точки соответственно в $(- x; y)$ и $(- x; - y)$ .

Парабола y=x² отражает точки относительно оси Oy, график y=x³ — относительно начала координат. — Рис. 1. Для чётности высота сохраняется, для нечётности меняются обе координаты.

Проверим функцию $f (x) = x^{2} + 1$ на всей прямой: замена аргумента на противоположный не меняет квадрат и добавленную единицу, значит, она чётная. Функция $x + 1$ не является ни чётной, ни нечётной: при аргументах $1$ и $- 1$ значения $2$ и $0$ не одинаковы и не противоположны.

Перед вычислением нужно проверить область. Формула $x^{2}$ на промежутке $[0; 2]$ не задаёт чётную функцию: для положительного допустимого аргумента противоположный отрицательный отсутствует. Нулевая функция на симметричной области одновременно чётная и нечётная; любая нечётная функция, определённая в нуле, обязательно имеет там значение ноль.

Повторение со сдвигом

Функция называется периодической, если существует положительное число $T$ такое, что её область допускает сдвиг каждого аргумента на $T$ в обе стороны, а значения при сдвиге сохраняются. Число $T$ называется периодом.

Для каждого допустимого $x$ числа $x + T$ и $x - T$ тоже допустимы, и выполняется:

f (x + T) = f (x) .

Простой пример без тригонометрии: на промежутке $[0; 1)$ значение равно $0$ , на $[1; 2)$ — $1$ , а эта пара ступеней повторяется через каждые две единицы в обе стороны. Точнее, для любого целого $k$ на $[2 k; 2 k + 1)$ берём $0$ , на $[2 k + 1; 2 k + 2)$ — $1$ .

Сдвиг на $2$ меняет номер пары ступеней, сохраняя положение внутри неё, поэтому сохраняет значение при любом аргументе. Число $2$ — период; $4$ тоже период. Число $1$ не подходит: значения при аргументах $0$ и $1$ различны. Период равен горизонтальному сдвигу, а не высоте ступени.

Ступенчатая функция со значениями 0 и 1 повторяет два полуинтервала через каждые две единицы; пустые и закрашенные точки различают границы. — Рис. 2. Повторяется и форма участка, и правило включения его границ.

Наименьший положительный период, если он существует, называют основным. У постоянной функции на всей прямой периодом служит любое положительное число, поэтому наименьшего нет. Для периодичности недостаточно похожих участков только в видимой части рисунка: условие относится ко всей области.

Обратное правило

Обратная к функции $f$ функция сопоставляет каждому значению $y$ из множества значений $f$ единственный аргумент $x$ , для которого $f (x) = y$ . Она существует на всём этом множестве, если разные аргументы исходной функции дают разные значения.

Обратную функцию обозначают $f^{- 1}$ . Эта запись означает обратное правило, а не число $1/ f (x)$ . Область обратной функции совпадает с множеством значений исходной, а её множество значений — с областью исходной. Их графики отражены относительно прямой $y = x$ , потому что координаты каждой пары меняются местами.

У функции $y = x^{2}$ на всей прямой обратного однозначного правила нет: значению $4$ соответствуют два аргумента. Ограничим аргументы неотрицательным лучом. Теперь каждый квадрат получается ровно один раз, и обратное правило — квадратный корень. Точка $(2; 4)$ переходит в $(4; 2)$ .

Неотрицательная ветвь y=x² и график y=√x отражены относительно пунктирной прямой y=x; пары (2;4),(4;2) выделены. — Рис. 3. Ограничение области убирает неоднозначность обратного поиска.

Строгая монотонность достаточна для существования обратного правила на множестве значений: разные аргументы тогда не могут дать одинаковую высоту. Но область и все ограничения сохраняются. Если вместо неотрицательной ветви квадрата выбрать неположительную, обратным правилом станет отрицательный квадратный корень.