Степенные функции и функция корня натуральной степени

У квадратного и кубического графиков различаются симметрия и знак значений. Эти особенности повторяются у более высоких степеней. А корень натуральной степени обращает соответствующее возведение в степень при подходящем выборе области. Используем базовые графики, степени с целым показателем, корни и обратную функцию.

Натуральный показатель

Степенная функция с натуральным показателем сопоставляет каждому действительному аргументу его $n$ -ю степень, где $n$ — фиксированное натуральное число.

Её правило:

y = x^{n} .

При чётном $n$ значения неотрицательны, противоположные аргументы дают одинаковое значение. График симметричен относительно оси $O y$ . На неотрицательном луче значения возрастают, на неположительном убывают при движении к нулю. Наименьшее значение равно нулю. Так ведёт себя, например, четвёртая степень.

При нечётном $n$ знак значения совпадает со знаком аргумента, а противоположные аргументы дают противоположные значения. Функция возрастает на всей прямой и принимает все действительные значения. При $n = 1$ график — прямая; при $n = 3$ — знакомая кубическая кривая.

Обоснуем порядок. Для положительных аргументов увеличение числа увеличивает произведение из одинакового количества положительных множителей. Нулевой аргумент даёт ноль, который меньше любой положительной натуральной степени. Нечётная степень сохраняет порядок и на отрицательной стороне: модули при движении к нулю уменьшаются, поэтому отрицательные значения нечётной степени приближаются к нулю снизу. Аргументы разных знаков сравниваются по знакам значений. Для чётной степени сравнение слева работает через модуль и даёт убывание.

Нулевой и отрицательный показатели

Нулевая степень по принятому определению даёт единицу только при ненулевом основании. Поэтому формула $x^{0}$ здесь задаёт значение $1$ при $x \neq = 0$ ; выражение $0^{0}$ не определяем. Постоянную функцию $y = 1$ на всей прямой можно задать отдельно, но это уже добавление значения в нуле.

Для натурального $m$ отрицательный показатель означает:

y = x^{- m} = \frac{1}{x ^{m}}, x \neq = 0.

При чётном $m$ значения положительны, график симметричен относительно оси $O y$ . Например, у функции $1/ x^{2}$ две ветви выше горизонтальной оси. При нечётном $m$ знак значения совпадает со знаком аргумента, симметрия относится к началу координат. Пример — $1/ x^{3}$ .

На положительном луче любая такая функция убывает: положительный знаменатель увеличивается. На отрицательном луче при чётном $m$ значения растут, при нечётном убывают. Эти свойства относятся к отдельным лучам, разделённым запрещённым нулём. В каждом случае график приближается к осям, не пересекая их.

На отдельных плоскостях изображены x⁴, x³, 1/x² и 1/x³; у отрицательных показателей ветви не соединены через ноль. — Рис. 1. Чётность показателя определяет знак и симметрию, его отрицательность исключает нулевой аргумент.

Корень натуральной степени

Функция арифметического корня чётной степени $y = n x$ определена при $x \geq 0$ и принимает неотрицательные значения. Корень нечётной степени определён при всех действительных аргументах и сохраняет их знак.

Здесь $n \geq 2$ — натуральное число. Обе функции возрастают на своих областях. Действительно, возведение допустимых корней в степень сохраняет порядок: для чётной степени сравниваются неотрицательные корни, для нечётной — любые действительные. Обратный порядок корней противоречил бы порядку подкоренных чисел.

Так, кубический корень из $- 8$ равен $- 2$ , а арифметический корень четвёртой степени из $16$ равен $2$ . Число $- 2$ тоже решает уравнение четвёртой степени, но не является арифметическим корнем. График нечётного корня проходит через третью четверть; график чётного туда не продолжают.

Сравниваются корень четвёртой степени и кубический корень; точки (16;2) и (-8;-2) подчёркивают разные области и знаки. — Рис. 2. Для чётной степени выбираем неотрицательное обратное значение, для нечётной оно однозначно без такого ограничения.

Дробная запись и её область

Для положительного аргумента рациональный показатель выражается через корень по определению дробной степени. Например, $x^{1/2}$ обозначает квадратный корень. В этой статье не продолжаем общий дробный показатель на отрицательные основания без отдельного определения.

Если нужно рассмотреть правило $(3 x)^{2}$ , оно существует и при отрицательных аргументах. Например, при $x = - 8$ получается $4$ . Для положительных аргументов оно совпадает с $x^{2/3}$ , а распространение этой дробной записи на отрицательные числа требует явно принять именно такое корневое правило. Совпадение обозначений на части области не даёт права незаметно расширить область функции.