Движение под действием гравитации

Автор курса · Команда Небулс

Падение у поверхности Земли

Если сопротивлением воздуха можно пренебречь, единственной силой для свободного тела остаётся тяжесть. Свободное падение — движение тела под действием только силы тяжести. Из второго закона Ньютона следует, что ускорение равно $g$ и не зависит от массы тела.

При оси $y$ , направленной вверх, $a_{y} = - g$ , поэтому используются законы равноускоренного движения:

v_{y} = v_{0 y} - g t, y = y_{0} + v_{0 y} t - \frac{g t ^{2}}{2}

Тяжёлый и лёгкий предметы в вакууме падают одинаково. Различия в воздухе возникают из-за силы сопротивления, которая зависит от формы, площади и скорости и по-разному соотносится с весом тел.

Скорость спутника направлена по касательной к круговой орбите, ускорение притяжения — к центру Земли.

Бросок и баллистическая траектория

После броска начальная скорость определяет движение, но не создаёт продолжающую действовать «силу броска». Если воздух не учитывается, горизонтальная проекция скорости постоянна, а вертикальная меняется под действием $g$ . Уравнения движения под углом к горизонту описывают параболу и позволяют найти время, высоту и дальность.

При возвращении на начальную высоту модуль скорости равен начальному: сила тяжести уменьшает скорость на подъёме и увеличивает на спуске. Направления различаются, поэтому векторы начальной и конечной скорости не равны. При броске с высоты симметрия нарушается, и время полёта нужно находить из условия конечной координаты.

Круговая орбита

Для круговой орбиты гравитационная сила направлена к центру и обеспечивает нормальное ускорение. Первая космическая скорость — минимальная горизонтальная скорость у поверхности планеты, при которой тело в идеальной модели становится её круговым спутником.

v_{1} = \frac{GM}{R} = g R

Для Земли это приблизительно $7, 9 км / с$ без учёта атмосферы и вращения планеты. Масса спутника сокращается: при одинаковом радиусе орбитальная скорость не зависит от неё. На более высокой круговой орбите скорость меньше, а период обращения больше.

Энергия и убегание от планеты

Гравитационное поле ослабевает с расстоянием, поэтому потенциальную энергию удобно отсчитывать от бесконечности. Для тела вне сферической планеты она равна $E_{p} = - GM m / r$ ; отрицательный знак означает связанное состояние. Чтобы тело могло удалиться бесконечно далеко с нулевой остаточной скоростью, ему у поверхности сообщают вторую космическую скорость:

v_{2} = \frac{2 GM}{R} = 2 v_{1}

Для Земли $v_{2} \approx 11, 2 км / с$ . Это не скорость, которую ракета обязана мгновенно получить у старта: двигатель может совершать работу постепенно. Формула описывает идеальный безатмосферный запуск после выключения двигателя и показывает связь гравитации с будущим законом сохранения механической энергии.

Проверить модель постоянного ускорения можно в работе Определение ускорения свободного падения. Сопоставьте измеренные расстояния и времена, указывая, какими воздействиями вы пренебрегаете.

Подготавливаем формулы…