Подготавливаем формулы…
Условия равновесия и момент силы
Автор курса · Команда Небулс
Равновесие без поступательного движения
Статическое равновесие — покой тела в выбранной инерциальной системе отсчёта. Чтобы первоначально неподвижное твёрдое тело сохраняло покой, должны компенсироваться как внешние силы, так и их моменты. При равномерном поступательном движении можно перейти в инерциальную систему, движущуюся вместе с телом. Первое условие равновесия требует нулевой векторной суммы внешних сил:
Для материальной точки этого достаточно, но протяжённое тело под действием пары сил может начать вращаться даже при нулевой равнодействующей. Поэтому вместе с балансом сил нужно учитывать, где проходит линия действия каждой силы.
Рычаг в равновесии: слева вдвое большая сила на вдвое меньшем плече, справа меньшая сила на большем плече; опора действует вверх.
Момент силы
Ось вращения задаёт линию, вокруг которой может поворачиваться тело; например, у двери она проходит через петли. Линию действия силы получают, продолжая направление силы через точку её приложения. Плечо силы — кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы, измеренное по перпендикуляру. Если сила перпендикулярна отрезку от оси до точки приложения, длина этого отрезка совпадает с плечом; при косом действии силы плечо меньше.
Момент силы относительно оси — произведение модуля силы на её плечо. Он характеризует вращающее действие силы:
Момент измеряют в . Знак выбирают по направлению вращения: например, против часовой стрелки считают положительным, по часовой — отрицательным. Сила, линия действия которой проходит через ось, имеет нулевое плечо и не вращает тело относительно этой оси.
Второе условие равновесия твёрдого тела требует нулевой суммы моментов:
Оба условия должны выполняться одновременно. Нулевая сумма моментов не исключает поступательного ускорения, а нулевая сумма сил не исключает вращения.
Рычаг и центр тяжести
Рычаг — твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной опоры. Для невесомого рычага с двумя силами, вращающими его в противоположных направлениях, равновесие выражается правилом . Если масса рычага существенна, дополнительно учитывают момент его силы тяжести. На большем плече тот же момент создаётся меньшей силой: поэтому дверь легче открыть у ручки, чем рядом с петлями, а длинная рукоятка облегчает поворот гайки. Выигрыш в силе сопровождается большим перемещением точки приложения: простой механизм не создаёт работу из ничего.
Земля притягивает каждую часть протяжённого тела. Вблизи её поверхности эти силы направлены практически одинаково, и их совместное действие можно заменить одной равнодействующей. Центр тяжести — точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести всех частей тела при любой его ориентации. У однородной линейки эта точка находится посередине, у однородной прямоугольной пластинки — на пересечении диагоналей. Поэтому линейку можно уравновесить на пальце под её серединой; груз у одного конца сместит общий центр тяжести к этому концу. Центр тяжести не обязательно лежит в материале тела: у однородного кольца он расположен в центре отверстия.
Для неправильной плоской фигуры центр тяжести находят подвешиванием. Фигуру свободно подвешивают за одну точку и проводят вертикаль по нити отвеса через точку подвеса: в равновесии центр тяжести лежит на этой линии, иначе сила тяжести повернула бы фигуру. Затем выбирают другую точку подвеса и проводят вторую, не совпадающую с первой вертикаль. Их пересечение определяет центр тяжести. Одна линия показывает только направление, вдоль которого находится искомая точка, поэтому одного подвешивания недостаточно.
Устойчивость на опоре
Область опоры включает места контакта тела с поверхностью и пространство между ними: у стола это область, ограниченная ножками. Пока вертикаль через центр тяжести проходит внутри этой области, тело не опрокидывается под действием тяжести. При выходе вертикали за край сила тяжести создаёт момент, поворачивающий тело вокруг края опоры. Если вертикаль проходит точно через край, тело находится на границе опрокидывания. Низкий центр тяжести и широкая опора увеличивают допустимый наклон, поэтому повысить устойчивость можно, опустив тяжёлые части ниже или расширив основание. Одна лишь большая масса не определяет устойчивость.
Устойчивое равновесие — равновесие, при котором после небольшого отклонения возникает действие, возвращающее тело к исходному положению. Шарик в чаше стремится вернуться на дно. Неустойчивое равновесие — равновесие, при котором после небольшого отклонения тело удаляется от исходного положения. Так ведёт себя шарик на вершине холма. Безразличное равновесие — равновесие, при котором после небольшого смещения тело остаётся в новом равновесном положении. Пример — шарик на горизонтальном столе: возвращающего действия нет. В поле тяжести этим случаям соответствуют минимум, максимум и неизменность потенциальной энергии при малых допустимых смещениях.
В статике рассматривают покой тела относительно выбранной опоры. Для движения твёрдого тела с произвольной осью вращения одного формального условия «угловое ускорение равно нулю» недостаточно без уточнения модели; приведённые условия моментов применяют к плоским задачам и вращению вокруг закреплённой оси.
Пример балки
Однородная балка длиной и массой закреплена шарниром слева и удерживается вертикальной силой на правом конце. Сила тяжести балки приложена к её центру тяжести, расположенному посередине. Из равенства моментов относительно шарнира при :
После этого первое условие позволяет найти вертикальную реакцию шарнира: она также равна . Выбор оси в шарнире упростил расчёт, потому что неизвестная реакция имеет нулевой момент относительно этой точки.
В работе Балансировка рычага перемещайте грузы и ищите равновесие. Сравните положения грузов относительно опоры и объясните, почему одного равенства масс недостаточно.