Простые механизмы: рычаг, блок и наклонная плоскость

Зачем нужен простой механизм

Тяжёлый груз можно поднять небольшой силой, если изменить способ её приложения. Длинная рукоятка, канат с блоком и наклонная доска позволяют выбирать удобные силу, направление и перемещение. Простой механизм — устройство, преобразующее силу и движение без создания дополнительной энергии. Выигрыш в силе всегда связан с другими изменениями движения.

В идеальной модели детали невесомы, трения нет, а груз перемещают равномерно. Тогда затраченная работа равна полезной. Реальный механизм требует большей работы: нагреваются оси и верёвка, деформируются детали. Поэтому отдельно проверяют силовой выигрыш и коэффициент полезного действия.

Неподвижный блок лишь меняет направление силы; у подвижного блока две ветви каната поддерживают груз и дают выигрыш в силе вдвое.

Рычаг и плечо

Рычаг вращается вокруг опоры. Для равновесия моменты сил в противоположных направлениях равны:

$$F_1{d}_1=F_2{d}_2$$

Плечо $d$ — перпендикуляр от оси до линии действия силы. Оно не обязательно равно длине рукоятки: при косом натяжении плечо меньше расстояния до точки приложения. Если приложить силу в три раза дальше от оси при перпендикулярном направлении, для того же момента нужна втрое меньшая сила. При повороте рычага дальний конец проходит втрое больший путь.

Ножницы, весы, тачка и суставы конечностей используют рычаги с разным расположением опоры и сил. В каждом случае сначала определяют ось, затем проводят линии действия сил и измеряют плечи. Сравнение длин «на глаз» без направлений сил может дать неверный результат.

Неподвижный и подвижный блоки

Блок представляет собой колесо с желобом, по которому проходит верёвка или канат. Неподвижный блок — блок, ось которого остаётся закреплённой при движении груза. Он меняет направление натяжения: можно тянуть верёвку вниз и поднимать груз вверх. У идеального блока натяжение с обеих сторон одинаково, поэтому выигрыша в силе нет. Сила равна весу равномерно поднимаемого груза, а вытянутая длина каната равна высоте подъёма.

Подвижный блок — блок, ось которого перемещается вместе с грузом. Если его поддерживают две вертикальные ветви одного идеального каната, каждая действует силой $T$, и $2T=mg$. Поэтому тянуть достаточно силой $mg/2$. При подъёме на высоту $h$ обе несущие ветви укорачиваются на $h$, так что свободный конец нужно переместить на $2h$: выигрыш в силе вдвое оплачивается вдвое большим путём. Если блок имеет существенную массу, учитывают её вместе с массой груза. В полиспасте считают поддерживающие подвижную часть ветви, а не просто число колёс.

Наклонная плоскость

По гладкой плоскости длиной $l$ груз поднимают на высоту $h$ силой, направленной вдоль плоскости. При равномерном движении:

$$F=mg\frac{h}{l},Fl=mgh$$

Чем длиннее подъём при прежней высоте, тем меньше требуемая сила. Но путь увеличивается в той же пропорции. Если есть трение, сила при подъёме возрастает: часть работы превращается во внутреннюю энергию. Наклонная плоскость помогает погрузить груз, но не отменяет затрат энергии на увеличение высоты.

Золотое правило и КПД

Золотое правило механики: идеальный простой механизм даёт выигрыш в силе во столько раз, во сколько увеличивает путь точки приложения этой силы. Механизм не даёт выигрыша в работе: в идеальном случае меньшая сила на большем пути совершает ту же работу, что и прямой подъём. В реальном блоке или на шероховатой плоскости часть затраченной энергии переходит во внутреннюю энергию деталей и окружающей среды, поэтому затраченная работа больше полезной.

Полезная работа — работа, обеспечивающая нужный результат применения механизма. При подъёме груза массой $m$ на высоту $h$ это увеличение его потенциальной энергии, равное $A_{\text{пол}}=mgh$. Затраченная работа — вся работа внешней силы, приводящей механизм в движение. Для постоянной силы тяги $F$, направленной вдоль пути точки её приложения $s$, она равна $A_{\text{затр}}=Fs$. Коэффициент полезного действия (КПД) — отношение полезной работы к затраченной. В процентах:

$$\eta =\frac{A_{\text{пол}}}{A_{\text{затр}}}\cdot 100\%=\frac{mgh}{Fs}\cdot 100\%$$

Чтобы проверить КПД наклонной плоскости, измеряют массу груза, вертикальную высоту подъёма, силу равномерной тяги динамометром и путь вдоль плоскости. Высота $h$ и длина склона $s$ — разные расстояния: в полезную работу входит высота, в затраченную — путь действия силы. Для того же груза и той же геометрии более шероховатая поверхность увеличивает силу тяги и затраченную работу, поэтому КПД уменьшается. КПД такого механизма не может превышать $100\%$; превышение указывает на ошибку измерения, единиц или учёта работ. Например, если вместо высоты подставить длину склона, полезная работа окажется завышенной, и расчёт может дать невозможный КПД.

Например, груз весом $120\text{Н}$ поднимают на $0,5\text{м}$, вытягивая $1,0\text{м}$ верёвки силой $75\text{Н}$. Полезная работа равна $60\text{Дж}$, затраченная — $75\text{Дж}$, КПД — $80\%$. Сравнивать нужно полные работы; отношение веса груза к приложенной силе само по себе КПД не даёт.

При выборе способа поднять коробку на полку полезный результат одинаков: один груз должен оказаться на одной высоте. При прямом равномерном подъёме требуется сила $mg$ и путь $h$; рычаг уменьшает силу за счёт большего перемещения рукоятки, а наклонная плоскость — за счёт более длинного пути по склону. Сравнивают не только силы, но и затраченные работы, доступное место, удобство опоры и потери на трение. Для каждого способа достаточно измерить массу и высоту для полезной работы, а силу тяги и путь — для затрат энергии.

Если груз сплошной и однородный, его массу можно найти по плотности вещества $\rho$ и объёму $V$: $m=\rho V$. При плотности в ${\text{г/см}}^3$ и объёме в ${\text{см}}^3$ получают массу в граммах; перед расчётом $mg$ или $mgh$ её переводят в килограммы, используя $1000\text{г}=1\text{кг}$. Например, после измерения объёма и нахождения массы можно оценить силу прямого подъёма, выбрать механизм и проверить его работу по измеренным силе, пути и высоте. Так наблюдение приводит к выбору модели, затем к измерениям и выводу о том, какой способ удобнее и сколько энергии он требует.

В работе Балансировка рычага можно самостоятельно подобрать положение грузов. Объясните достигнутое равновесие через плечи, а не только через массы. Смысл моментов подробнее разобран в условиях равновесия.