Подготавливаем формулы…
Силы упругости, закон Гука и деформация материалов
Автор курса · Команда Небулс
Возникновение упругой силы
Когда внешняя сила изменяет форму или размеры тела, частицы вещества смещаются относительно равновесных положений. Межмолекулярные взаимодействия стремятся вернуть прежнее состояние, и возникает сила упругости. Деформация — изменение формы или размеров тела под действием внешних сил. Она проявляется не только в растяжении пружины, но и в сжатии, изгибе, кручении и сдвиге.
Упругость — свойство тела восстанавливать первоначальные форму и размеры после прекращения действия деформирующих сил. Поэтому упругая деформация — деформация, полностью исчезающая после снятия нагрузки, а пластическая деформация — деформация, сохраняющаяся полностью или частично после снятия нагрузки. Пружина при небольшом растяжении обычно возвращается к исходной длине, а согнутая металлическая скрепка после превышения предела упругости остаётся деформированной. Такое различие показывает, что любая простая модель материала имеет область применимости.
Сила упругости — сила, возникающая при деформации тела и направленная против смещения, вызвавшего эту деформацию. У растянутой пружины она стремится сблизить концы, у сжатой — раздвинуть их. Возвращение пружины к прежней длине после снятия нагрузки объясняется этим восстанавливающим действием взаимодействий между частицами.
Закон Гука
Чтобы описать растяжение, сначала измеряют длину ненагруженной пружины , затем её длину под нагрузкой. Удлинение пружины — увеличение её длины относительно ненагруженного состояния. Оно равно : одной конечной длины недостаточно, поскольку у разных пружин исходная длина может различаться. Например, при изменении длины с до удлинение равно , или .
Для небольших упругих деформаций пружины модуль силы пропорционален удлинению. Закон Гука: в области линейной упругой деформации сила пружины направлена против смещения её конца и равна .
Жёсткость пружины — коэффициент, показывающий отношение модуля силы упругости к удлинению в области действия закона Гука. Её измеряют в ньютонах на метр. Для модулей , поэтому по измерениям можно найти , выражая удлинение в метрах. Знак минус в векторной записи выражает возвращающий характер силы: при растяжении она направлена к положению равновесия, при сжатии — также к нему. Жёсткость зависит от материала и геометрии пружины, но не от приложенной силы, пока выполняется линейная модель. Если для одной и той же пружины удлинение увеличивается в три раза, сила тоже увеличивается в три раза; на другую пружину это сравнение без проверки её жёсткости переносить нельзя.
Пружина с грузом и график силы от удлинения — прямая через начало координат; наклон задаёт жёсткость.
Как динамометр измеряет силу
Динамометр — прибор для измерения силы. В школьном пружинном динамометре один конец пружины закреплён в корпусе, а другой соединён с подвижным стержнем и крючком, к которому прикладывают измеряемую силу. Вместе со стержнем перемещается указатель, а рядом находится шкала в ньютонах. Корпус удерживают за предусмотренное крепление; сила на крючке растягивает пружину, и положение указателя позволяет определить её модуль.
Связь между силой и положением указателя устанавливают заранее. Градуировка динамометра — нанесение отметок шкалы по действию известных сил. Нулевая отметка соответствует ненагруженной пружине; например, грузы известной массы при покое создают силы , которыми отмечают следующие положения указателя. Равные прибавки силы в линейной области дают равные прибавки длины. При измерении неизвестной силы используют уже готовую шкалу, а не наносят новые отметки.
Перед измерением проверяют, совпадает ли указатель ненагруженного прибора с нулём, и при необходимости регулируют его положение. Цена деления — значение силы, соответствующее одному промежутку между соседними штрихами шкалы. Её находят, разделив разность двух подписанных значений на число равных промежутков между ними: например, между и при десяти промежутках цена деления равна . Отсчёт снимают после прекращения колебаний, направляя нагрузку вдоль оси прибора и располагая глаз напротив указателя. Наибольшее значение шкалы задаёт предел измерения: превышение этого значения может необратимо деформировать пружину и испортить градуировку.
При калибровке удобен график модуля силы от удлинения: жёсткость равна отношению приращений . Например, увеличение силы на при увеличении удлинения на соответствует . На графике нужно откладывать именно изменение длины, а не полную длину пружины.
Работа Измерение жёсткости пружины позволяет менять нагрузку и измерять длину пружины. Сначала постройте зависимость по наблюдениям, а затем решите, на каком участке уместна линейная модель.
Деформация стержня
Для растяжения однородного стержня вводят механическое напряжение и относительную деформацию . В линейной области они связаны модулем Юнга :
Большой модуль Юнга означает, что материал мало деформируется при заданном напряжении. Напряжение измеряют в паскалях, относительная деформация безразмерна. При снятии слишком большой нагрузки линейная зависимость нарушается, а после предела прочности образец разрушается.
Соединение пружин и пример
При параллельном соединении одинаковое удлинение испытывают все пружины, а силы складываются, поэтому . При последовательном соединении одинакова сила, а удлинения складываются:
Если груз массой покоится на вертикальной пружине жёсткостью , равновесие сил даёт . При удлинение равно . Результат справедлив, если пружина остаётся в области упругой деформации и её собственная масса несущественна.