Механическая энергия и закон её сохранения

Энергия движения и взаимодействия

Поднятый груз сейчас может оставаться неподвижным, но при опускании способен приводить в движение другие тела и совершать работу. Для описания такого запаса вводят энергию. Энергия — физическая величина, характеризующая способность тела или системы совершать работу. Она измеряется в джоулях, как и работа; выполнение работы передаёт энергию или превращает её из одного вида в другой.

Кинетическая энергия — энергия механического движения тела. Движущаяся тележка может толкнуть другую тележку и совершить над ней работу. При одинаковой массе больше кинетическая энергия у более быстрой тележки, а при одинаковой скорости — у более массивной. Эти сравнения можно сделать без вычислений; количественная зависимость имеет вид $E_k=m{v}^2/2$. Кинетическая энергия не бывает отрицательной и меняется при переходе в другую систему отсчёта.

Теорема о кинетической энергии связывает суммарную работу сил с изменением скорости:

$$A_{\text{всех сил}}=\Delta E_k$$

Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или частей тела, зависящая от их взаимного положения. У поднятого груза она связана с взаимодействием с Землёй: чем выше груз над выбранным уровнем, тем большую работу может совершить сила тяжести при его опускании до этого уровня. Поэтому потенциальная энергия относится к взаимодействующей системе, хотя часто говорят об энергии самого груза. У поверхности Земли:

$$E_p=mgh$$

Здесь $m$ — масса в килограммах, $g$ — ускорение свободного падения (или сила тяжести на единицу массы, в $\text{Н/кг}$), $h$ — высота в метрах над выбранным нулевым уровнем. При одинаковой высоте более массивный груз имеет большую потенциальную энергию; при одинаковой массе её увеличивает подъём выше. При равномерном подъёме увеличение потенциальной энергии равно работе поднимающей силы.

Нулевым уровнем можно выбрать пол, поверхность стола или другое удобное положение. Груз над столом находится на одной высоте относительно стола и на другой относительно пола, поэтому без указания уровня его потенциальной энергии нельзя приписать одно значение. При смене уровня меняются значения энергии в каждом положении, но разность между ними остаётся прежней. Потенциальная энергия есть и у упруго деформированной пружины: $E_{p,\text{упр}}=k{x}^2/2$.

Для трёх высот потенциальная энергия падает, кинетическая растёт; сумма столбиков на каждом этапе одинакова.

Консервативные силы

Работа силы тяжести и силы упругости зависит только от начального и конечного состояний, а не от формы пути. Такие силы называют консервативными. Их работа равна убыли потенциальной энергии:

$$A_{\text{конс}}=-\Delta E_p$$

Трение скольжения не обладает этим свойством: его работа зависит от длины пути и обычно превращает упорядоченную механическую энергию во внутреннюю. Поэтому для системы с трением одной разности потенциальных энергий недостаточно.

Сохранение механической энергии

Механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергий системы. Если в замкнутой системе действуют только консервативные силы, механическая энергия остаётся постоянной. Для падающего груза и маятника это означает, что сопротивлением воздуха и трением можно пренебречь:

$$E_k+E_p=\text{const}$$

При падении потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая на столько же возрастает. В колеблющейся пружине энергия переходит между $k{x}^2/2$ и $m{v}^2/2$. Закон не утверждает, что каждая часть постоянна; сохраняется их сумма.

У маятника в крайнем положении скорость на мгновение равна нулю: кинетическая энергия равна нулю, но потенциальная относительно нижнего положения максимальна. При движении вниз потенциальная энергия превращается в кинетическую. В нижнем положении потенциальная энергия относительно этого уровня равна нулю, а скорость и кинетическая энергия максимальны; в промежуточном положении есть оба вида энергии. На обратном подъёме превращение идёт в другую сторону, и идеальный маятник достигает прежней высоты.

Если внешние силы совершают работу или внутри системы есть трение, изменение механической энергии равно работе неконсервативных сил: $\Delta (E_k+E_p)=A_{\text{нк}}$. Полная энергия при этом не исчезает, а переходит во внутреннюю, электрическую или другую форму.

У реального маятника сопротивление воздуха и трение в подвесе уменьшают механическую энергию: нагреваются воздух и детали, часть энергии передаётся звуком. Поэтому каждый следующий подъём ниже предыдущего, а колебания затухают. Если до шероховатого участка механическая энергия равнялась $60\text{Дж}$, а после — $42\text{Дж}$, то $18\text{Дж}$ перешли в другие виды энергии. Это потеря механической энергии, а не исчезновение энергии вообще.

Пример падения

Камень отпускают без начальной скорости с высоты $20\text{м}$. Выберем нулевую потенциальную энергию у земли и пренебрежём воздухом. В начале энергия равна $mgh$, перед ударом — $m{v}^2/2$, поэтому:

$$mgh=\frac{m{v}^2}{2},v=\sqrt{2gh}=20\text{м/с}$$

Масса сократилась, что согласуется с одинаковым ускорением свободного падения для разных тел. Энергетический способ сразу связывает высоту и скорость и не требует отдельно находить время движения.