После отклонения маятника или груза на пружине возникает возвращающая сила, направленная к положению равновесия. По инерции тело проходит это положение, и движение повторяется. Механические колебания — движения, которые полностью или приблизительно повторяются через равные промежутки времени около положения равновесия.
Период T — время одного полного колебания, частота ν=1/T — число колебаний в секунду, циклическая частота ω=2πν. Амплитуда A задаёт наибольший по модулю уход от равновесия. Эти величины похожи на характеристики движения по окружности, потому что гармоническое колебание можно представить как проекцию равномерно вращающейся точки.
В крайних положениях нитяного маятника скорость нулевая, в нижнем положении максимальна. Длина нити одинаковая.
Гармонический закон
Гармоническое колебание — колебание, при котором координата изменяется по закону синуса или косинуса.
x(t)=Acos(ωt+φ0)
Начальная фаза φ0 определяет состояние при t=0. Скорость сдвинута по фазе относительно координаты, а ускорение всегда направлено к равновесию:
v=−ωAsin(ωt+φ0),a=−ω2x
В крайних положениях скорость равна нулю, а модуль ускорения максимален. В равновесии координата и ускорение равны нулю, зато скорость максимальна.
Пружинный и математический маятники
Для груза массы m на идеальной пружине закон Гука даёт ma=−kx, поэтому ω=k/m. Период равен:
T=2πkm
Жёсткая пружина колеблется быстрее, большая масса — медленнее. Амплитуда не влияет на период, пока пружина подчиняется линейному закону и трением можно пренебречь.
Математический маятник — материальная точка на невесомой нерастяжимой нити. При малых углах sinα≈α, и период:
T=2πgl
Он не зависит от массы и почти не зависит от амплитуды лишь для малых отклонений. При больших углах период возрастает.
Энергия и затухание
В идеальном пружинном осцилляторе механическая энергия сохраняется и переходит между кинетической и потенциальной:
Сопротивление среды превращает механическую энергию во внутреннюю, и амплитуда свободных колебаний уменьшается. Частота при слабом затухании меняется мало, но система со временем приходит к покою. Чтобы поддерживать колебания, нужна внешняя периодическая передача энергии.
